chọn đáp án đúng

Câu 46: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng một số tính chất của tam giác và đường tròn ngoại tiếp. 1. Tính chất đối xứng qua tâm đường tròn ngoại tiếp: - Khi điểm \( D \) là điểm đối xứng của \( B \) qua tâm \( O \) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABC \), thì \( O \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BD \). Do đó, ta có: \[ \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OD} \] 2. Tính chất của trực tâm: - Trực tâm \( H \) của tam giác \( ABC \) là giao điểm của ba đường cao. Một tính chất quan trọng là: \[ \overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{0} \] - Từ đó, ta có: \[ \overrightarrow{HA} = -(\overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HC}) \] 3. Xét các vectơ: - Do \( D \) là điểm đối xứng của \( B \) qua \( O \), ta có: \[ \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BD} \] - Vì \( O \) là trung điểm của \( BD \), ta có: \[ \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{OB} = 2\overrightarrow{OC} - 2\overrightarrow{CB} \] - Suy ra: \[ \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CB} + 2\overrightarrow{OC} - 2\overrightarrow{CB} = 2\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{CB} \] 4. So sánh với \(\overrightarrow{HA}\): - Từ tính chất của trực tâm, ta có: \[ \overrightarrow{HA} = -(\overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HC}) \] - Do đó, \(\overrightarrow{HA} = \overrightarrow{CD}\) khi \(\overrightarrow{CD} = -(\overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HC})\). 5. Kết luận: - Từ các phân tích trên, ta thấy rằng: - \(\overrightarrow{HA} = \overrightarrow{CD}\) - \(\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OD}\) Vậy khẳng định đúng là: \(D.~\overrightarrow{HA}=\overrightarrow{CD}\) và \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{HC}\) và \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OD}\). Câu 47: Để giải quyết bài toán này, ta cần sử dụng một số tính chất của hình học phẳng, đặc biệt là các tính chất liên quan đến đường tròn ngoại tiếp và trực tâm của tam giác. 1. Tính chất đối xứng qua tâm O: - Vì D là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, nên ta có: \[ \overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{OD} \] - Điều này có nghĩa là \(\overrightarrow{OB}\) và \(\overrightarrow{OD}\) có cùng độ dài nhưng ngược hướng. 2. Tính chất của trực tâm H: - Trực tâm H của tam giác ABC là giao điểm của ba đường cao. Một tính chất quan trọng là \(\overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{0}\). 3. Xét các khẳng định: - Khẳng định A: \(\overrightarrow{HA} = \overrightarrow{CD}\) và \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CH}\) - \(\overrightarrow{HA} = \overrightarrow{CD}\) có thể đúng nếu \(\overrightarrow{CD}\) là một vector có cùng độ dài và hướng với \(\overrightarrow{HA}\), điều này không có cơ sở rõ ràng từ các tính chất đã biết. - \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CH}\) không có cơ sở rõ ràng từ các tính chất đã biết. - Khẳng định B: \(\overrightarrow{HA} = \overrightarrow{CD}\) và \(\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{HC}\) - Tương tự như trên, không có cơ sở rõ ràng cho \(\overrightarrow{HA} = \overrightarrow{CD}\). - \(\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{HC}\) không có cơ sở rõ ràng từ các tính chất đã biết. - Khẳng định C: \(\overrightarrow{HA} = \overrightarrow{CD}\) và \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{HC}\) - Tương tự như trên, không có cơ sở rõ ràng cho \(\overrightarrow{HA} = \overrightarrow{CD}\). - \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{HC}\) không có cơ sở rõ ràng từ các tính chất đã biết. - Khẳng định D: \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{HC}\) và \(\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OD}\) - \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{HC}\) không có cơ sở rõ ràng từ các tính chất đã biết. - \(\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OD}\) là sai vì \(\overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{OD}\). Từ các phân tích trên, không có khẳng định nào hoàn toàn đúng dựa trên các tính chất đã biết và các thông tin được cung cấp. Tuy nhiên, nếu xét về tính chất đối xứng qua tâm O, khẳng định D có một phần đúng là \(\overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{OD}\), nhưng không hoàn toàn đúng với \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{HC}\). Do đó, không có khẳng định nào hoàn toàn đúng trong các lựa chọn đã cho. Câu 48: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích các điểm đối xứng và các vectơ liên quan. 1. Xác định các điểm đối xứng: - Điểm \( N \) là điểm đối xứng của \( M \) qua \( A' \), do đó: \[ \overrightarrow{A'M} = \overrightarrow{A'N} \] Điều này có nghĩa là \( \overrightarrow{A'N} = -\overrightarrow{A'M} \). - Tương tự, điểm \( P \) là điểm đối xứng của \( M \) qua \( B' \), do đó: \[ \overrightarrow{B'M} = \overrightarrow{B'P} \] Điều này có nghĩa là \( \overrightarrow{B'P} = -\overrightarrow{B'M} \). - Điểm \( Q \) là điểm đối xứng của \( M \) qua \( C' \), do đó: \[ \overrightarrow{C'M} = \overrightarrow{C'Q} \] Điều này có nghĩa là \( \overrightarrow{C'Q} = -\overrightarrow{C'M} \). 2. Phân tích các vectơ: - Xét vectơ \( \overrightarrow{AM} \) và \( \overrightarrow{PC} \): - Vì \( P \) là điểm đối xứng của \( M \) qua \( B' \), ta có: \[ \overrightarrow{B'P} = -\overrightarrow{B'M} \] - Do đó, \( \overrightarrow{BP} = \overrightarrow{BM} \). - Suy ra \( \overrightarrow{PC} = \overrightarrow{MC} \). - Vậy \( \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{PC} \). - Xét vectơ \( \overrightarrow{QB} \) và \( \overrightarrow{NC} \): - Vì \( Q \) là điểm đối xứng của \( M \) qua \( C' \), ta có: \[ \overrightarrow{C'Q} = -\overrightarrow{C'M} \] - Do đó, \( \overrightarrow{CQ} = \overrightarrow{CM} \). - Suy ra \( \overrightarrow{QB} = \overrightarrow{MB} \). - Vậy \( \overrightarrow{QB} = \overrightarrow{NC} \). 3. Kết luận: Từ các phân tích trên, ta thấy rằng câu A là đúng: \[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{PC} \quad \text{và} \quad \overrightarrow{QB} = \overrightarrow{NC} \] Vậy đáp án đúng là \( \boxed{A} \). Câu 49: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích từng lựa chọn và sử dụng các tính chất của tam giác và các điểm đặc biệt như trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp. 1. Phân tích lựa chọn A: \(\overrightarrow{AH} = \overrightarrow{DC}\) - Ta biết rằng \(D\) là điểm đối xứng của \(B\) qua \(O\), do đó \(\overrightarrow{OD} = -\overrightarrow{OB}\). - Trong tam giác \(ABC\), trực tâm \(H\) là giao điểm của ba đường cao. Một tính chất quan trọng là \(\overrightarrow{AH} + \overrightarrow{BH} + \overrightarrow{CH} = \overrightarrow{0}\). - Tuy nhiên, không có mối liên hệ trực tiếp nào giữa \(\overrightarrow{AH}\) và \(\overrightarrow{DC}\) từ các tính chất trên. Do đó, lựa chọn này không đúng. 2. Phân tích lựa chọn B: \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) - Từ định nghĩa của \(D\), ta có \(\overrightarrow{OD} = -\overrightarrow{OB}\), dẫn đến \(\overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{OB}\). - Do đó, \(\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BC}\). - Không có lý do nào để \(\overrightarrow{AB}\) bằng \(\overrightarrow{DC}\) trừ khi tam giác có tính chất đặc biệt nào đó, nhưng điều này không được nêu trong bài toán. Vì vậy, lựa chọn này không đúng. 3. Phân tích lựa chọn C: \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\) - Từ định nghĩa của \(D\), ta có \(\overrightarrow{OD} = -\overrightarrow{OB}\), dẫn đến \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{AO} - \overrightarrow{OB}\). - Do đó, \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AO} - \overrightarrow{OB}\). - Không có lý do nào để \(\overrightarrow{AD}\) bằng \(\overrightarrow{BC}\) trừ khi tam giác có tính chất đặc biệt nào đó, nhưng điều này không được nêu trong bài toán. Vì vậy, lựa chọn này không đúng. 4. Phân tích lựa chọn D: \(\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AH}\) - Trong tam giác \(ABC\), trực tâm \(H\) và tâm đường tròn ngoại tiếp \(O\) có một số tính chất đặc biệt, nhưng không có tính chất nào cho thấy \(\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AH}\) trong mọi trường hợp. - Do đó, lựa chọn này không đúng. Sau khi phân tích từng lựa chọn, ta thấy rằng không có lựa chọn nào đúng với các tính chất đã biết của tam giác và các điểm đặc biệt. Có thể có một lỗi trong đề bài hoặc cần thêm thông tin để xác định lựa chọn đúng. Câu 50: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích từng mệnh đề một cách chi tiết. Mệnh đề (I): \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}\) - Xét hai tiếp tuyến \(AB\) và \(AC\) từ điểm \(A\) đến đường tròn \((O)\). Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có \(AB = AC\). - Tuy nhiên, về mặt vectơ, \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) có cùng độ dài nhưng không cùng hướng (trừ khi \(A\) nằm trên đường thẳng \(BC\), điều này không xảy ra vì \(A\) nằm ngoài đường tròn). Do đó, \(\overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{AC}\). Mệnh đề (II): \(\overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{OC}\) - Xét hai vectơ \(\overrightarrow{OB}\) và \(\overrightarrow{OC}\). Vì \(B\) và \(C\) là hai điểm tiếp xúc của các tiếp tuyến từ \(A\) đến đường tròn \((O)\), nên \(OB = OC\) và \(B\), \(O\), \(C\) thẳng hàng với \(O\) nằm giữa \(B\) và \(C\). - Do đó, \(\overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{OC}\) là đúng. Mệnh đề (III): \(|\overrightarrow{BO}| = |\overrightarrow{CO}|\) - Như đã phân tích ở mệnh đề (II), \(OB = OC\) do tính chất của hai tiếp tuyến từ một điểm ngoài đường tròn. Do đó, \(|\overrightarrow{BO}| = |\overrightarrow{CO}|\) là đúng. Kết luận: Mệnh đề (II) và (III) là đúng. Do đó, đáp án đúng là D. Chỉ (III). Câu 51: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích từng mệnh đề và xác định mệnh đề nào là sai. Trước tiên, ta cần xác định các vectơ liên quan trong hình bình hành ABCD. 1. Xác định các vectơ: - Vì P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, BC, AD nên ta có: \[ \overrightarrow{OP} = \frac{1}{2} \overrightarrow{OA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{OB} \] \[ \overrightarrow{PR} = \overrightarrow{R} - \overrightarrow{P} = \left(\frac{1}{2} \overrightarrow{OA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{OD}\right) - \left(\frac{1}{2} \overrightarrow{OA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{OB}\right) = \frac{1}{2} \overrightarrow{OD} - \frac{1}{2} \overrightarrow{OB} \] 2. Phân tích từng mệnh đề: A. Có 2 vectơ bằng $\overrightarrow{OP}$: - Từ định nghĩa của $\overrightarrow{OP}$, ta thấy $\overrightarrow{OP} = \frac{1}{2} \overrightarrow{(A + B)}$. Trong hình bình hành, không có vectơ nào khác có thể bằng $\overrightarrow{OP}$ ngoài chính nó. Do đó, mệnh đề này có thể sai. B. Có 4 vectơ bằng $\overrightarrow{AR}$: - $\overrightarrow{AR} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AD}$. Trong hình bình hành, $\overrightarrow{AD}$ có thể được biểu diễn qua các vectơ khác như $\overrightarrow{BC}$, nhưng không có 4 vectơ khác nhau bằng $\overrightarrow{AR}$. Mệnh đề này có thể sai. C. Có 2 vectơ bằng $\overrightarrow{BO}$: - $\overrightarrow{BO} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BD}$. Trong hình bình hành, $\overrightarrow{BD}$ có thể được biểu diễn qua các vectơ khác như $\overrightarrow{AC}$, nhưng không có 2 vectơ khác nhau bằng $\overrightarrow{BO}$. Mệnh đề này có thể sai. D. Có 5 vectơ bằng $\overrightarrow{PR}$: - Từ tính toán ở trên, $\overrightarrow{PR} = \frac{1}{2} \overrightarrow{OD} - \frac{1}{2} \overrightarrow{OB}$. Không có 5 vectơ khác nhau bằng $\overrightarrow{PR}$. Mệnh đề này có thể sai. 3. Kết luận: Sau khi phân tích, mệnh đề A là sai vì không có 2 vectơ khác nhau bằng $\overrightarrow{OP}$ trong hình bình hành ABCD. Câu 52: Để tính độ dài của vectơ \(\overrightarrow{MN}\), ta cần xác định tọa độ của các điểm M và N trong hệ tọa độ. 1. Xác định tọa độ các điểm: - Giả sử hình vuông \(ABCD\) có tâm \(O\) và cạnh \(a\). Đặt \(A(0, 0)\), \(B(a, 0)\), \(C(a, a)\), \(D(0, a)\). - Trung điểm \(M\) của \(AB\) có tọa độ: \[ M\left(\frac{0 + a}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, 0\right) \] - Điểm \(N\) là điểm đối xứng của \(C\) qua \(D\). Tọa độ của \(C\) là \((a, a)\) và \(D\) là \((0, a)\). Để tìm tọa độ của \(N\), ta sử dụng công thức đối xứng qua một điểm: \[ N(x_N, y_N) = (2x_D - x_C, 2y_D - y_C) \] \[ N(0, a) = (2 \cdot 0 - a, 2 \cdot a - a) = (-a, a) \] 2. Tính độ dài của vectơ \(\overrightarrow{MN}\): - Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{MN}\) là: \[ \overrightarrow{MN} = \left(-a - \frac{a}{2}, a - 0\right) = \left(-\frac{3a}{2}, a\right) \] - Độ dài của vectơ \(\overrightarrow{MN}\) là: \[ |\overrightarrow{MN}| = \sqrt{\left(-\frac{3a}{2}\right)^2 + a^2} = \sqrt{\frac{9a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{9a^2}{4} + \frac{4a^2}{4}} = \sqrt{\frac{13a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{13}}{2} \] Vậy độ dài của vectơ \(\overrightarrow{MN}\) là \(\frac{a\sqrt{13}}{2}\). Đáp án đúng là \(C. |\overrightarrow{MN}| = \frac{a\sqrt{13}}{2}\). Câu 53: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích từng khẳng định một cách chi tiết. Khẳng định A: \(\overrightarrow{OI} = \overrightarrow{OJ}\) - Gọi \(I\) và \(J\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(BD\). - \(O\) là giao điểm của các đường chéo của tứ giác \(MNPQ\), mà \(M, N, P, Q\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB, BC, CD, DA\). - Theo định lý đường trung bình trong tứ giác, \(O\) cũng là trung điểm của \(IJ\). - Do đó, \(\overrightarrow{OI} = \overrightarrow{OJ}\). Khẳng định B: \(MP = NQ\) - Vì \(M, N, P, Q\) là trung điểm của các cạnh của tứ giác \(ABCD\), nên tứ giác \(MNPQ\) là hình bình hành. - Trong hình bình hành, các cạnh đối song song và bằng nhau. - Do đó, \(MP = NQ\). Khẳng định C: \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{PQ}\) - Tương tự như trên, vì \(MNPQ\) là hình bình hành, nên các cạnh đối song song và bằng nhau. - Do đó, \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{PQ}\). Khẳng định D: \(\overrightarrow{OI} = -\overrightarrow{OJ}\) - Như đã phân tích ở khẳng định A, \(\overrightarrow{OI} = \overrightarrow{OJ}\), không phải \(-\overrightarrow{OJ}\). Tóm lại, các khẳng định đúng là: - Khẳng định A: \(\overrightarrow{OI} = \overrightarrow{OJ}\) - Khẳng định B: \(MP = NQ\) - Khẳng định C: \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{PQ}\) Vậy đáp án đúng là: \(A\), \(B\), \(C\). Câu 54: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng một số tính chất của hình học phẳng, đặc biệt là các tính chất liên quan đến đường tròn và đối xứng. 1. Tính chất đối xứng qua tâm O: - Khi điểm D là điểm đối xứng của B qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, thì ta có: \(\overrightarrow{OD} = -\overrightarrow{OB}\). 2. Tính chất của trực tâm H: - Trực tâm H của tam giác ABC là giao điểm của ba đường cao. Một tính chất quan trọng là: \(\overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{0}\). 3. Xét các khẳng định: - Khẳng định đầu tiên \(\overrightarrow{HA} = \overrightarrow{CD}\) là đúng. Điều này xuất phát từ việc D là điểm đối xứng của B qua O, do đó \(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{HA}\). 4. Xét các khẳng định còn lại: - Để kiểm tra các khẳng định còn lại, ta cần xem xét các vector liên quan: - \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{AO} - \overrightarrow{OB}\). - \(\overrightarrow{HC} = \overrightarrow{HO} + \overrightarrow{OC} = -\overrightarrow{HA} - \overrightarrow{HB} + \overrightarrow{OC}\). 5. So sánh các vector: - Từ \(\overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{0}\), ta có \(\overrightarrow{HC} = -\overrightarrow{HA} - \overrightarrow{HB}\). - So sánh với \(\overrightarrow{AD}\), ta thấy rằng \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{HC}\). Do đó, khẳng định đúng là: \(\overrightarrow{HA} = \overrightarrow{CD}\) và \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{HC}\). Vậy đáp án đúng là: B. \(\overrightarrow{HA} = \overrightarrow{CD}\) và \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{HC}\).