Giải hộ mình câu này với các bạn 10. Trong không gian $\mathbb{R}^3,$ cho $A(1,0,0),~B(0,1,0),~C(0,0,1).$ Tính diện tích tam giác ABC.

Question

Accepted Answer

Để tính diện tích tam giác $ABC$ trong không gian $\mathbb{R}^3$ với các điểm $A(1,0,0)$, $B(0,1,0)$, và $C(0,0,1)$, ta có thể sử dụng tích có hướng của hai vectơ để tìm diện tích.

Bước 1: Tính các vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$

- Vectơ $\overrightarrow{AB} = B - A = (0 - 1, 1 - 0, 0 - 0) = (-1, 1, 0)$.
- Vectơ $\overrightarrow{AC} = C - A = (0 - 1, 0 - 0, 1 - 0) = (-1, 0, 1)$.

Bước 2: Tính tích có hướng $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$

Tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u} = (u_1, u_2, u_3)$ và $\overrightarrow{v} = (v_1, v_2, v_3)$ được tính bằng:

$$
\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = (u_2v_3 - u_3v_2, u_3v_1 - u_1v_3, u_1v_2 - u_2v_1)
$$

Áp dụng công thức trên cho $\overrightarrow{AB} = (-1, 1, 0)$ và $\overrightarrow{AC} = (-1, 0, 1)$:

$$
\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0, 0 \cdot (-1) - (-1) \cdot 1, (-1) \cdot 0 - 1 \cdot (-1))
$$

$$
= (1, 1, 1)
$$

Bước 3: Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$

Độ dài của vectơ $(x, y, z)$ là $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

$$
\left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}
$$

Bước 4: Tính diện tích tam giác $ABC$

Diện tích tam giác được tính bằng nửa độ dài của tích có hướng của hai vectơ:

$$
S = \frac{1}{2} \left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right| = \frac{1}{2} \sqrt{3}
$$

Vậy, diện tích tam giác $ABC$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$.