giúp toiiiii

BÀI 1: Câu hỏi: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( P = -x^2 + 4x - 3 \). Câu trả lời: Biểu thức \( P = -x^2 + 4x - 3 \) là một đa thức bậc hai với hệ số của \( x^2 \) âm, do đó đồ thị của nó là một parabol mở xuống dưới. Điều này có nghĩa là biểu thức sẽ đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol. Đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \) có tọa độ \( x = -\frac{b}{2a} \). Trong biểu thức \( P = -x^2 + 4x - 3 \), ta có \( a = -1 \) và \( b = 4 \). Do đó, tọa độ \( x \) của đỉnh là: \[ x = -\frac{4}{2(-1)} = -\frac{4}{-2} = 2 \] Thay \( x = 2 \) vào biểu thức \( P \): \[ P = -(2)^2 + 4(2) - 3 = -4 + 8 - 3 = 1 \] Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \( P \) là 1, đạt được khi \( x = 2 \). Đáp số: Giá trị lớn nhất của biểu thức \( P \) là 1, đạt được khi \( x = 2 \). Câu 1: Để viết đúng mệnh đề "7 là một số tự nhiên", chúng ta cần sử dụng ký hiệu thuộc về tập hợp số tự nhiên \( \mathbb{N} \). - Ký hiệu \( 7 \subset \mathbb{N} \) là sai vì \( \subset \) dùng để chỉ mối quan hệ giữa hai tập hợp, không phải giữa một phần tử và một tập hợp. - Ký hiệu \( 7 \in \mathbb{N} \) là đúng vì \( \in \) dùng để chỉ một phần tử thuộc về một tập hợp. - Ký hiệu \( 7 < \mathbb{N} \) là sai vì \( < \) dùng để so sánh hai số, không phải giữa một số và một tập hợp. - Ký hiệu \( 7 \leq \mathbb{N} \) là sai vì \( \leq \) cũng dùng để so sánh hai số, không phải giữa một số và một tập hợp. Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~7 \in \mathbb{N}. \] Câu 2: Để viết đúng mệnh đề "$\sqrt{2}$ không phải là số hữu tỉ", chúng ta cần sử dụng kí hiệu toán học phù hợp. Mệnh đề "$\sqrt{2}$ không phải là số hữu tỉ" có nghĩa là $\sqrt{2}$ không thuộc tập hợp các số hữu tỉ, ký hiệu là $\mathbb{Q}$. Do đó, chúng ta sẽ sử dụng kí hiệu $\notin$ để biểu thị rằng $\sqrt{2}$ không nằm trong tập hợp $\mathbb{Q}$. Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}. \] Lưu ý rằng cả hai lựa chọn A và C đều sai vì chúng sử dụng kí hiệu $\neq$ thay vì $\notin$, và lựa chọn D không sử dụng kí hiệu toán học chính xác. Câu 3: Một mệnh đề là một phát biểu có thể đúng hoặc sai nhưng không thể vừa đúng vừa sai. A. \( x > 2 \) Phát biểu này phụ thuộc vào giá trị của \( x \). Nếu \( x = 3 \), phát biểu này đúng; nếu \( x = 1 \), phát biểu này sai. Vì vậy, nó không phải là một mệnh đề cố định. B. \( 3 < 1 \) Phát biểu này luôn sai vì 3 không nhỏ hơn 1. Đây là một mệnh đề sai. C. \( 4 - 5 = 1 \) Phát biểu này luôn sai vì \( 4 - 5 = -1 \). Đây là một mệnh đề sai. D. Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau. Phát biểu này luôn đúng theo định nghĩa của tam giác đều. Đây là một mệnh đề đúng. Do đó, câu A không là mệnh đề vì nó phụ thuộc vào giá trị của \( x \). Đáp án: \( A.~x>2. \) Câu 4: Để xác định mệnh đề nào sai, chúng ta cần phân tích từng mệnh đề một cách chi tiết: A. Hai tam giác có diện tích bằng nhau thì bằng nhau. - Mệnh đề này sai. Hai tam giác có thể có diện tích bằng nhau nhưng không nhất thiết phải bằng nhau về hình dạng và kích thước. Ví dụ, một tam giác có thể có các cạnh khác nhau nhưng vẫn có diện tích bằng nhau nếu chiều cao và đáy được điều chỉnh phù hợp. B. Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau. - Mệnh đề này đúng. Nếu hai tam giác bằng nhau (tức là có các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau), thì diện tích của chúng chắc chắn bằng nhau. C. Tam giác có ba cạnh bằng nhau thì có ba góc bằng nhau. - Mệnh đề này đúng. Một tam giác có ba cạnh bằng nhau là tam giác đều, và trong tam giác đều, ba góc cũng bằng nhau, mỗi góc bằng \(60^\circ\). D. Tam giác có hai góc bằng nhau thì góc thứ 3 bằng nhau. - Mệnh đề này đúng. Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau, thì tam giác đó là tam giác cân, và góc thứ ba sẽ là góc còn lại, không thể có hai góc thứ ba khác nhau trong cùng một tam giác. Kết luận: Mệnh đề sai là mệnh đề A. Câu 5: Để kiểm tra tính đúng sai của các mệnh đề, chúng ta sẽ lần lượt xem xét từng mệnh đề một. Mệnh đề A: \( \forall x \in \mathbb{R}, x^2 - x + 1 > 0 \) Xét biểu thức \( x^2 - x + 1 \). Ta có thể viết lại nó dưới dạng: \[ x^2 - x + 1 = \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} \] Vì \( \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 \geq 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \), nên: \[ \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4} > 0 \] Do đó, \( x^2 - x + 1 > 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \). Mệnh đề B: \( \exists n \in \mathbb{N}, n < 0 \) Tập hợp số tự nhiên \( \mathbb{N} \) bao gồm các số nguyên dương và 0. Do đó, không tồn tại số tự nhiên nào nhỏ hơn 0. Mệnh đề C: \( \exists x \in \mathbb{Q}, x^2 = 2 \) Giả sử tồn tại số hữu tỉ \( x = \frac{p}{q} \) (với \( p \) và \( q \) là các số nguyên và \( q \neq 0 \)) sao cho \( x^2 = 2 \). Khi đó: \[ \left( \frac{p}{q} \right)^2 = 2 \] \[ \frac{p^2}{q^2} = 2 \] \[ p^2 = 2q^2 \] Điều này có nghĩa là \( p^2 \) chia hết cho 2, suy ra \( p \) cũng chia hết cho 2. Đặt \( p = 2k \) (với \( k \) là số nguyên), ta có: \[ (2k)^2 = 2q^2 \] \[ 4k^2 = 2q^2 \] \[ 2k^2 = q^2 \] Điều này có nghĩa là \( q^2 \) chia hết cho 2, suy ra \( q \) cũng chia hết cho 2. Điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng \( p \) và \( q \) không có ước chung khác 1. Do đó, không tồn tại số hữu tỉ \( x \) sao cho \( x^2 = 2 \). Mệnh đề D: \( \forall x \in \mathbb{Z}, \frac{1}{x} > 0 \) Tập hợp số nguyên \( \mathbb{Z} \) bao gồm cả số nguyên âm, số nguyên dương và 0. Nếu \( x \) là số nguyên âm hoặc 0, thì \( \frac{1}{x} \) không thể lớn hơn 0. Do đó, mệnh đề này sai. Kết luận: - Mệnh đề A đúng. - Mệnh đề B sai. - Mệnh đề C sai. - Mệnh đề D sai. Vậy, mệnh đề đúng là: \[ \boxed{A} \] Câu 6: Để tìm giá trị của \( a \) sao cho bất đẳng thức \( x^2 - 2 + a > 0 \) đúng với mọi \( x \in \mathbb{R} \), ta sẽ làm như sau: 1. Xét biểu thức \( x^2 - 2 + a \). Ta cần đảm bảo rằng biểu thức này luôn dương với mọi \( x \in \mathbb{R} \). 2. Biểu thức \( x^2 \) luôn không âm, tức là \( x^2 \geq 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \). 3. Do đó, \( x^2 - 2 + a \) sẽ luôn dương nếu \( -2 + a > 0 \). Điều này có nghĩa là: \[ a > 2 \] 4. Kiểm tra lại: Nếu \( a > 2 \), thì \( -2 + a > 0 \), suy ra \( x^2 - 2 + a > x^2 \geq 0 \), do đó \( x^2 - 2 + a > 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \). Vậy đáp án đúng là: \[ D.~a > 2 \] Câu 7: Để xác định mệnh đề nào đúng trong các phương án đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng phương án một. Phương án A: \(2 + 3 = 5\) - Ta thực hiện phép cộng: \(2 + 3 = 5\). - Kết quả này đúng. Phương án B: \(2 < 1\) - Ta so sánh hai số: 2 và 1. - Vì 2 lớn hơn 1 nên \(2 < 1\) là sai. Phương án C: \(3 > 5\) - Ta so sánh hai số: 3 và 5. - Vì 3 nhỏ hơn 5 nên \(3 > 5\) là sai. Phương án D: \(\frac{6}{3} = \frac{1}{2}\) - Ta thực hiện phép chia: \(\frac{6}{3} = 2\). - So sánh với \(\frac{1}{2}\), ta thấy \(2 \neq \frac{1}{2}\). - Do đó, \(\frac{6}{3} = \frac{1}{2}\) là sai. Vậy, phương án đúng là: \(A.~2 + 3 = 5\) Đáp số: \(A.~2 + 3 = 5\) Câu 8: Để tìm mệnh đề đúng, chúng ta sẽ phân tích từng mệnh đề một cách chi tiết: A. Đường tròn có một tâm đối xứng và có một trục đối xứng. - Đường tròn có vô số trục đối xứng, vì bất kỳ đường kính nào của đường tròn cũng là trục đối xứng. Ngoài ra, đường tròn có một tâm đối xứng, đó chính là tâm của đường tròn. Do đó, mệnh đề này sai vì nó nói rằng đường tròn chỉ có một trục đối xứng. B. Hình chữ nhật có hai trục đối xứng. - Hình chữ nhật có hai trục đối xứng: một trục là đường thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh đối diện theo chiều dài, và một trục là đường thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh đối diện theo chiều rộng. Do đó, mệnh đề này đúng. C. Tam giác ABC vuông cân $\Leftrightarrow A=45^\circ.$ - Một tam giác vuông cân có hai góc bằng nhau và góc còn lại là góc vuông (90 độ). Do đó, hai góc bằng nhau phải là $45^\circ$. Tuy nhiên, mệnh đề này chỉ đúng một chiều: nếu tam giác vuông cân thì góc $A = 45^\circ$, nhưng không phải lúc nào $A = 45^\circ$ thì tam giác cũng vuông cân (vì có thể $A$ không phải là góc vuông). Do đó, mệnh đề này sai. D. Hai tam giác vuông ABC và A'B'C' có diện tích bằng nhau $\Leftrightarrow \Delta ABC = \Delta A^\prime B^\prime C^\prime.$ - Hai tam giác vuông có diện tích bằng nhau không nhất thiết phải bằng nhau về hình dạng và kích thước. Diện tích của tam giác vuông phụ thuộc vào tích của hai cạnh góc vuông, nhưng không yêu cầu các cạnh này phải bằng nhau. Do đó, mệnh đề này sai. Kết luận: Mệnh đề đúng là B. Hình chữ nhật có hai trục đối xứng. Câu 9: Để tìm mệnh đề sai, chúng ta cần phân tích từng mệnh đề một cách chi tiết: A. "10 chia hết cho $5\Leftrightarrow$ Hình vuông có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc nhau." - Vế trái: 10 chia hết cho 5 là đúng. - Vế phải: Hình vuông có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc nhau là một tính chất đúng của hình vuông. - Tuy nhiên, mệnh đề này không có mối liên hệ logic giữa hai vế. Việc 10 chia hết cho 5 không liên quan đến tính chất của hình vuông. Do đó, mệnh đề này là sai. B. "Tam giác ABC vuông tại $C\Leftrightarrow AB^2=CA^2+CB^2.$" - Đây là định lý Pythagore, áp dụng cho tam giác vuông. Nếu tam giác ABC vuông tại C, thì $AB^2 = CA^2 + CB^2$ và ngược lại. Mệnh đề này là đúng. C. "Hình thang ABCD nội tiếp đường tròn $(O)\Leftrightarrow ABCD$ là hình thang cân." - Một hình thang nội tiếp đường tròn thì nó phải là hình thang cân. Ngược lại, nếu hình thang cân thì nó có thể nội tiếp trong một đường tròn. Mệnh đề này là đúng. D. "63 chia hết cho 7 $\Rightarrow$ Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc nhau." - Vế trái: 63 chia hết cho 7 là đúng. - Vế phải: Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc nhau là một hình thoi. Tuy nhiên, việc 63 chia hết cho 7 không liên quan đến tính chất của hình bình hành. Do đó, mệnh đề này là sai. Kết luận: Mệnh đề sai là A và D. Câu 10: Để tìm giá trị thực của \( x \) sao cho mệnh đề chứa biến \( P(x): 2x^2 - 1 < 0 \) là mệnh đề đúng, ta tiến hành như sau: Bước 1: Giải bất phương trình \( 2x^2 - 1 < 0 \). \[ 2x^2 - 1 < 0 \] \[ 2x^2 < 1 \] \[ x^2 < \frac{1}{2} \] Bước 2: Tìm khoảng giá trị của \( x \) thỏa mãn bất phương trình trên. \[ x^2 < \frac{1}{2} \] \[ -\sqrt{\frac{1}{2}} < x < \sqrt{\frac{1}{2}} \] \[ -\frac{\sqrt{2}}{2} < x < \frac{\sqrt{2}}{2} \] Bước 3: Kiểm tra các giá trị đã cho trong đáp án để xem giá trị nào nằm trong khoảng \( -\frac{\sqrt{2}}{2} < x < \frac{\sqrt{2}}{2} \). - \( A. 0 \): \( 0 \) nằm trong khoảng \( -\frac{\sqrt{2}}{2} < x < \frac{\sqrt{2}}{2} \). - \( B. 5 \): \( 5 \) không nằm trong khoảng \( -\frac{\sqrt{2}}{2} < x < \frac{\sqrt{2}}{2} \). - \( C. 1 \): \( 1 \) không nằm trong khoảng \( -\frac{\sqrt{2}}{2} < x < \frac{\sqrt{2}}{2} \). - \( D. \frac{4}{5} \): \( \frac{4}{5} \approx 0.8 \) không nằm trong khoảng \( -\frac{\sqrt{2}}{2} < x < \frac{\sqrt{2}}{2} \). Vậy giá trị thực của \( x \) làm cho mệnh đề chứa biến \( P(x): 2x^2 - 1 < 0 \) là mệnh đề đúng là \( 0 \). Đáp án: \( A. 0 \). Câu 11: A. Thay \( x = 0 \) vào \( P(x) \) ta được \( 0 + 15 \leq 0^2 \Leftrightarrow 15 \leq 0 \) (sai) B. Thay \( x = 3 \) vào \( P(x) \) ta được \( 3 + 15 \leq 3^2 \Leftrightarrow 18 \leq 9 \) (sai) C. Thay \( x = 4 \) vào \( P(x) \) ta được \( 4 + 15 \leq 4^2 \Leftrightarrow 19 \leq 16 \) (sai) D. Thay \( x = 5 \) vào \( P(x) \) ta được \( 5 + 15 \leq 5^2 \Leftrightarrow 20 \leq 25 \) (đúng) Vậy đáp án đúng là D. Câu 12: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ tính từng giá trị theo yêu cầu và kiểm tra các khẳng định A, B, C, D. 1. Tính \(a + b\): \[ a + b = (\sqrt{10} + 1) + (\sqrt{10} - 1) = \sqrt{10} + 1 + \sqrt{10} - 1 = 2\sqrt{10} \] Vậy \(a + b = 2\sqrt{10}\). 2. Tính \(a^2 + b^2\): \[ a^2 = (\sqrt{10} + 1)^2 = (\sqrt{10})^2 + 2 \cdot \sqrt{10} \cdot 1 + 1^2 = 10 + 2\sqrt{10} + 1 = 11 + 2\sqrt{10} \] \[ b^2 = (\sqrt{10} - 1)^2 = (\sqrt{10})^2 - 2 \cdot \sqrt{10} \cdot 1 + 1^2 = 10 - 2\sqrt{10} + 1 = 11 - 2\sqrt{10} \] \[ a^2 + b^2 = (11 + 2\sqrt{10}) + (11 - 2\sqrt{10}) = 11 + 2\sqrt{10} + 11 - 2\sqrt{10} = 22 \] Vậy \(a^2 + b^2 = 22\). 3. Kiểm tra các khẳng định: - Khẳng định A: \((a^2 + b^2) \in \Box\) \[ a^2 + b^2 = 22 \Rightarrow 22 \in \Box \] Đúng vì 22 là một số nguyên dương. - Khẳng định B: \((a + b) \in \Box\) \[ a + b = 2\sqrt{10} \Rightarrow 2\sqrt{10} \in \Box \] Sai vì \(2\sqrt{10}\) không phải là một số nguyên dương. - Khẳng định C: \(a^2 + b^2 = 20\) \[ a^2 + b^2 = 22 \neq 20 \] Sai. - Khẳng định D: \(a \cdot b = 99\) \[ a \cdot b = (\sqrt{10} + 1)(\sqrt{10} - 1) = (\sqrt{10})^2 - 1^2 = 10 - 1 = 9 \] Sai vì \(a \cdot b = 9 \neq 99\). Vậy khẳng định đúng là: \[ \boxed{A} \] Câu 1: (1) Đây là câu cảm thán nên không phải là mệnh đề. (2) Đây là câu khẳng định, câu này sai vì phương trình \( x^2 - 3x + 1 = 0 \) có nghiệm thực. Ta có thể kiểm tra bằng cách tính biệt thức \( \Delta \): \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5 > 0 \] Vì \( \Delta > 0 \), phương trình có hai nghiệm thực phân biệt. Do đó, câu này là mệnh đề sai. (3) Đây là câu khẳng định, câu này đúng vì 16 không phải là số nguyên tố (số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ chia hết cho 1 và chính nó). 16 chia hết cho 2, 4, 8 và 16. Do đó, câu này là mệnh đề đúng.