Giúp mik với ạ

Câu 5: Để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{x-2}{x+1} \), chúng ta cần xét giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến \( +\infty \) và \( -\infty \). 1. Xét giới hạn của hàm số khi \( x \to +\infty \): \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{x-2}{x+1} \] Ta chia cả tử số và mẫu số cho \( x \): \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{x-2}{x}}{\frac{x+1}{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x}} \] Khi \( x \to +\infty \), các hạng tử \( \frac{2}{x} \) và \( \frac{1}{x} \) đều tiến về 0: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1 \] 2. Xét giới hạn của hàm số khi \( x \to -\infty \): \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{x-2}{x+1} \] Tương tự như trên, ta chia cả tử số và mẫu số cho \( x \): \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{x-2}{x}}{\frac{x+1}{x}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x}} \] Khi \( x \to -\infty \), các hạng tử \( \frac{2}{x} \) và \( \frac{1}{x} \) đều tiến về 0: \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1 \] Vậy, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{x-2}{x+1} \) là \( y = 1 \). Đáp án đúng là: \( B. ~ y = 1 \). Câu 6: Để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{4x + 1}{x - 1} \), chúng ta cần xét giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm\infty \). 1. Xét giới hạn của hàm số khi \( x \to \infty \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{4x + 1}{x - 1} \] Ta chia cả tử số và mẫu số cho \( x \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}} \] Khi \( x \to \infty \), các hạng tử \(\frac{1}{x}\) sẽ tiến về 0: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{4 + 0}{1 - 0} = \frac{4}{1} = 4 \] 2. Xét giới hạn của hàm số khi \( x \to -\infty \): \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{4x + 1}{x - 1} \] Tương tự như trên, ta chia cả tử số và mẫu số cho \( x \): \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{4 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}} \] Khi \( x \to -\infty \), các hạng tử \(\frac{1}{x}\) cũng sẽ tiến về 0: \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{4 + 0}{1 - 0} = \frac{4}{1} = 4 \] Vậy, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{4x + 1}{x - 1} \) là \( y = 4 \). Đáp án đúng là: \( B.~y=4 \). Câu 7: Để giải quyết bài toán này, ta cần xác định số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số \( y = f(x) \). 1. Tiệm cận đứng Tiệm cận đứng xuất hiện khi hàm số có giới hạn vô cùng tại một điểm nào đó. Dựa vào bảng biến thiên: - Tại \( x = -1 \), hàm số có giới hạn \( y \to +\infty \) khi \( x \to -1^- \) và \( y \to 0 \) khi \( x \to -1^+ \). Điều này cho thấy có một tiệm cận đứng tại \( x = -1 \). - Tại \( x = 1 \), hàm số có giới hạn \( y \to 0 \) khi \( x \to 1^- \) và \( y \to -2 \) khi \( x \to 1^+ \). Điều này không tạo ra tiệm cận đứng vì không có giới hạn vô cùng. Vậy, chỉ có một tiệm cận đứng tại \( x = -1 \). 2. Tiệm cận ngang Tiệm cận ngang xuất hiện khi hàm số có giới hạn hữu hạn khi \( x \to \pm\infty \). - Khi \( x \to -\infty \), \( y \to 2 \). Do đó, có một tiệm cận ngang \( y = 2 \). - Khi \( x \to +\infty \), \( y \to -2 \). Do đó, có một tiệm cận ngang \( y = -2 \). Vậy, có hai tiệm cận ngang: \( y = 2 \) và \( y = -2 \). Kết luận Tổng số đường tiệm cận đứng và ngang là \( 1 + 2 = 3 \). Đáp án đúng là C. 3. Câu 8: Để xác định tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = f(x) \), ta cần quan sát đồ thị và làm theo các bước sau: 1. Tiệm cận đứng: - Tiệm cận đứng xuất hiện khi đồ thị hàm số có xu hướng tiến tới vô cực khi \( x \) tiến tới một giá trị nào đó. - Quan sát đồ thị, ta thấy có hai đường thẳng đứng tại \( x = -1 \) và \( x = 1 \). Đây là các tiệm cận đứng. 2. Tiệm cận ngang: - Tiệm cận ngang xuất hiện khi \( y \) tiến tới một giá trị hữu hạn khi \( x \) tiến tới vô cực. - Quan sát đồ thị, ta thấy có một đường thẳng ngang tại \( y = 0 \). Đây là tiệm cận ngang. 3. Tổng số tiệm cận: - Có 2 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang. Vậy, tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là \( 2 + 1 = 3 \). Đáp án: B. 3. Câu 9: Để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{x-2}{x+1} \), chúng ta cần xét giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến \( +\infty \) và \( -\infty \). 1. Xét giới hạn của hàm số khi \( x \to +\infty \): \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{x-2}{x+1} \] Ta chia cả tử số và mẫu số cho \( x \): \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{x-2}{x}}{\frac{x+1}{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x}} \] Khi \( x \to +\infty \), các hạng tử \( \frac{2}{x} \) và \( \frac{1}{x} \) đều tiến về 0: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{1 - 0}{1 + 0} = \frac{1}{1} = 1 \] 2. Xét giới hạn của hàm số khi \( x \to -\infty \): \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{x-2}{x+1} \] Tương tự như trên, ta chia cả tử số và mẫu số cho \( x \): \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{x-2}{x}}{\frac{x+1}{x}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x}} \] Khi \( x \to -\infty \), các hạng tử \( \frac{2}{x} \) và \( \frac{1}{x} \) đều tiến về 0: \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{1 - 0}{1 + 0} = \frac{1}{1} = 1 \] Vậy, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{x-2}{x+1} \) là \( y = 1 \). Đáp án đúng là: \( A.~y=1 \). Câu 10: Để tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( y = \frac{2x + 2024}{x - 1} \), ta cần xác định giá trị của \( x \) làm cho mẫu số bằng 0 vì tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số bằng 0 và tử số khác 0. 1. Xác định mẫu số: Mẫu số của hàm số là \( x - 1 \). 2. Giải phương trình \( x - 1 = 0 \): \[ x - 1 = 0 \implies x = 1 \] 3. Kiểm tra tử số tại \( x = 1 \): Tử số của hàm số là \( 2x + 2024 \). Thay \( x = 1 \) vào tử số: \[ 2(1) + 2024 = 2 + 2024 = 2026 \neq 0 \] Vì tử số khác 0 khi \( x = 1 \), nên \( x = 1 \) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~x=1 \] Câu 11: Để tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = f(x) = x + 2 + \frac{3}{2x + 1} \), chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định dạng tiệm cận xiên: Tiệm cận xiên của một hàm số \( y = f(x) \) có dạng \( y = ax + b \). 2. Tìm hệ số \( a \): Hệ số \( a \) được tìm bằng cách tính giới hạn: \[ a = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} \] Thay \( f(x) = x + 2 + \frac{3}{2x + 1} \) vào công thức trên: \[ a = \lim_{x \to \infty} \frac{x + 2 + \frac{3}{2x + 1}}{x} \] Chia cả tử số và mẫu số cho \( x \): \[ a = \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x(2x + 1)} \right) \] Khi \( x \to \infty \), các hạng tử \(\frac{2}{x}\) và \(\frac{3}{x(2x + 1)}\) đều tiến về 0: \[ a = 1 + 0 + 0 = 1 \] 3. Tìm hệ số \( b \): Hệ số \( b \) được tìm bằng cách tính giới hạn: \[ b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - ax) \] Thay \( f(x) = x + 2 + \frac{3}{2x + 1} \) và \( a = 1 \) vào công thức trên: \[ b = \lim_{x \to \infty} \left( x + 2 + \frac{3}{2x + 1} - x \right) \] Đơn giản hóa biểu thức: \[ b = \lim_{x \to \infty} \left( 2 + \frac{3}{2x + 1} \right) \] Khi \( x \to \infty \), hạng tử \(\frac{3}{2x + 1}\) tiến về 0: \[ b = 2 + 0 = 2 \] 4. Kết luận: Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = x + 2 + \frac{3}{2x + 1} \) là đường thẳng có phương trình: \[ y = x + 2 \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{D.~y = x + 2} \] Câu 12: Để tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = \frac{x^2 - 16}{x + 5} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Phân tích hàm số: Hàm số đã cho là \( y = \frac{x^2 - 16}{x + 5} \). 2. Chia đa thức: Ta chia \( x^2 - 16 \) cho \( x + 5 \): \[ \begin{array}{r|rr} & x - 5 \\ \hline x + 5 & x^2 + 0x - 16 \\ & -(x^2 + 5x) \\ \hline & -5x - 16 \\ & -(-5x - 25) \\ \hline & 9 \\ \end{array} \] Kết quả của phép chia là: \[ \frac{x^2 - 16}{x + 5} = x - 5 + \frac{9}{x + 5} \] 3. Xác định tiệm cận xiên: Tiệm cận xiên của hàm số \( y = \frac{x^2 - 16}{x + 5} \) là phần đa thức bậc cao nhất trong kết quả của phép chia, tức là \( x - 5 \). 4. Kết luận: Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = \frac{x^2 - 16}{x + 5} \) là \( y = x - 5 \). Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{C.~y = x - 5} \]