Giai giup to $b)~y=\frac{4x-1}{x+3}$

Question

Accepted Answer

Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số $ y = \frac{4x-1}{x+3} $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm ĐKXĐ:
   Hàm số $ y = \frac{4x-1}{x+3} $ có mẫu số là $ x + 3 $. Để hàm số xác định, mẫu số phải khác 0:
   $$
   x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3
   $$
   Vậy, đkxd của hàm số là $ x \neq -3 $.

2. Tìm đạo hàm của hàm số:
   Ta sử dụng công thức đạo hàm của phân thức:
   $$
   y = \frac{u}{v} \implies y&#x27; = \frac{u&#x27;v - uv&#x27;}{v^2}
   $$
   Với $ u = 4x - 1 $ và $ v = x + 3 $:
   $$
   u&#x27; = 4, \quad v&#x27; = 1
   $$
   Do đó:
   $$
   y&#x27; = \frac{(4)(x + 3) - (4x - 1)(1)}{(x + 3)^2} = \frac{4x + 12 - 4x + 1}{(x + 3)^2} = \frac{13}{(x + 3)^2}
   $$

3. Xác định dấu của đạo hàm:
   Đạo hàm $ y&#x27; = \frac{13}{(x + 3)^2} $ luôn dương vì $ 13 > 0 $ và $ (x + 3)^2 > 0 $ với mọi $ x \neq -3 $. Điều này có nghĩa là hàm số $ y $ luôn đồng biến trên các khoảng $ (-\infty, -3) $ và $ (-3, +\infty) $.

4. Kết luận về GTLN và GTNN:
   Vì hàm số luôn đồng biến trên các khoảng xác định, nó không có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất trong miền xác định của nó. Tuy nhiên, ta có thể tìm giới hạn của hàm số khi $ x $ tiến đến các điểm biên của miền xác định.

- Khi $ x \to -3^- $ (từ bên trái):
     $$
     y \to -\infty
     $$
   - Khi $ x \to -3^+ $ (từ bên phải):
     $$
     y \to +\infty
     $$
   - Khi $ x \to \pm\infty $:
     $$
     y \to 4
     $$

Do đó, hàm số không có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất, nhưng nó tiệm cận giá trị 4 khi $ x $ tiến đến vô cùng.

Kết luận:
Hàm số $ y = \frac{4x-1}{x+3} $ không có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất, nhưng nó tiệm cận giá trị 4 khi $ x $ tiến đến vô cùng.