Giai giup to voi $c)~y=\frac{x^2+x-3}{x-1}$

Question

Accepted Answer

Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số $ y = \frac{x^2 + x - 3}{x - 1} $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm ĐKXĐ:
   Hàm số $ y = \frac{x^2 + x - 3}{x - 1} $ có mẫu số $ x - 1 $. Để hàm số xác định, mẫu số phải khác 0:
   $$
   x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1
   $$
   Vậy, ĐKXĐ là $ x \neq 1 $.

2. Rút gọn hàm số:
   Ta có thể rút gọn hàm số bằng cách chia đa thức $ x^2 + x - 3 $ cho $ x - 1 $:
   $$
   x^2 + x - 3 = (x - 1)(x + 2) + 1
   $$
   Do đó:
   $$
   y = \frac{(x - 1)(x + 2) + 1}{x - 1} = x + 2 + \frac{1}{x - 1}
   $$

3. Tìm đạo hàm:
   Để tìm GTLN và GTNN, ta cần tìm đạo hàm của hàm số $ y = x + 2 + \frac{1}{x - 1} $:
   $$
   y&#x27; = 1 - \frac{1}{(x - 1)^2}
   $$

4. Giải phương trình $ y&#x27; = 0 $:
   $$
   1 - \frac{1}{(x - 1)^2} = 0 \implies \frac{1}{(x - 1)^2} = 1 \implies (x - 1)^2 = 1 \implies x - 1 = \pm 1
   $$
   Từ đây, ta có hai nghiệm:
   $$
   x - 1 = 1 \implies x = 2
   $$
   $$
   x - 1 = -1 \implies x = 0
   $$

5. Xác định GTLN và GTNN:
   Ta sẽ kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm $ x = 0 $ và $ x = 2 $:
   $$
   y(0) = 0 + 2 + \frac{1}{0 - 1} = 2 - 1 = 1
   $$
   $$
   y(2) = 2 + 2 + \frac{1}{2 - 1} = 4 + 1 = 5
   $$

Ngoài ra, ta cũng cần kiểm tra giới hạn của hàm số khi $ x \to 1^+ $ và $ x \to 1^- $:
   $$
   \lim_{x \to 1^+} y = \lim_{x \to 1^+} \left( x + 2 + \frac{1}{x - 1} \right) = +\infty
   $$
   $$
   \lim_{x \to 1^-} y = \lim_{x \to 1^-} \left( x + 2 + \frac{1}{x - 1} \right) = -\infty
   $$

Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số là 5, đạt được khi $ x = 2 $, và giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1, đạt được khi $ x = 0 $.

Kết luận:
Giá trị lớn nhất của hàm số là 5, đạt được khi $ x = 2 $.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1, đạt được khi $ x = 0 $.