Cho biểu thức $P=\left(a^{2013}-8a^{2012}+11a^{2011}\right)+\left(b^{2013}-8b^{2012}+11b^{2011}\right)$. Tính giá trị biểu thức P với $a=4+\sqrt{5};b=4-\sqrt{5}$.

$a = 4 + \sqrt{5} \Rightarrow a - 4 = \sqrt{5}$

$\Rightarrow (a - 4)^2 = 5$

$\Rightarrow a^2 - 8a + 16 = 5$

$\Rightarrow a^2 - 8a + 11 = 0$

Tương tự:

$b = 4 - \sqrt{5} \Rightarrow (b - 4)^2 = (-\sqrt{5})^2$

$\Rightarrow b^2 - 8a + 11 = 0$

Do đó:

$P = a^{2013} - 8a^{2012} + 11a^{2011} + b^{2013} - 8b^{2012} + 11b^{2011}$

$= a^{2011}\cdot (a^2 - 8a + 11) + b^{2011}\cdot (b^2 - 8b + 11)$

$= a^{2011}\cdot 0 + b^{2011}\cdot 0 = 0$