van anh van anh

Câu 2: a) Đúng. Vì tồn tại \( x = \frac{1}{2} \) thuộc tập số hữu tỉ \( \mathbb{Q} \) thỏa mãn phương trình \( 4x^2 - 1 = 0 \). b) Sai. Vì không phải mọi số tự nhiên \( n \) đều là số nguyên tố cùng \( n + 2 \). Ví dụ, khi \( n = 4 \), \( n + 2 = 6 \), cả hai đều không phải là số nguyên tố. c) Sai. Vì có những giá trị của \( x \) làm cho \( (x - 1)^2 = x - 1 \). Cụ thể, khi \( x = 1 \), ta có \( (1 - 1)^2 = 1 - 1 \), tức là \( 0 = 0 \). d) Sai. Vì không phải mọi số tự nhiên \( n \) đều thỏa mãn \( n^2 > n \). Ví dụ, khi \( n = 1 \), ta có \( 1^2 = 1 \), không thỏa mãn \( 1^2 > 1 \). Câu 3: a) Mệnh đề sai vì \( x = -1 \) thì \( (-1)^3 - (-1)^2 + 1 = -1 - 1 + 1 = -1 < 0 \). b) Mệnh đề đúng vì \( n = 1 \) thì \( 1^2 + 3 = 4 \) chia hết cho 4. c) Mệnh đề sai vì \( x = 2 \) và \( y = 3 \) thì \( x + y = 5 \neq 1 \). d) Mệnh đề đúng vì \( x = 1 \) và \( y = 1 \) thì \( x + y = 2 \). Câu 4: a) Thay \( x = 1 \) vào \( P(x) \): \[ P(1): ``1 > \frac{1}{1}'' \] \[ 1 > 1 \] (sai) Vậy \( P(1) \) là sai. b) Thay \( x = -\frac{1}{3} \) vào \( P(x) \): \[ P\left(-\frac{1}{3}\right): ``-\frac{1}{3} > \frac{1}{-\frac{1}{3}}'' \] \[ -\frac{1}{3} > -3 \] (đúng) Vậy \( P\left(-\frac{1}{3}\right) \) là đúng. c) Xét \( P(x) \) với \( x \in \mathbb{N} \): - Nếu \( x = 1 \): \[ P(1): ``1 > \frac{1}{1}'' \] \[ 1 > 1 \] (sai) - Nếu \( x > 1 \): \[ x > \frac{1}{x} \] (đúng vì \( x \) là số tự nhiên lớn hơn 1 và \( \frac{1}{x} \) là số dương nhỏ hơn 1) Do đó, tồn tại ít nhất một giá trị \( x \in \mathbb{N} \) (cụ thể là \( x = 1 \)) làm cho \( P(x) \) sai. Vậy \( \forall x \in \mathbb{N}, P(x) \) là sai. d) Xét \( P(x) \) với \( x \in \mathbb{N} \): - Nếu \( x = 2 \): \[ P(2): ``2 > \frac{1}{2}'' \] \[ 2 > 0.5 \] (đúng) Do đó, tồn tại ít nhất một giá trị \( x \in \mathbb{N} \) (cụ thể là \( x = 2 \)) làm cho \( P(x) \) đúng. Vậy \( \exists x \in \mathbb{N}, P(x) \) là đúng. Câu 5: a) Mệnh đề A: $\forall x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}: x + y = 1$ Mệnh đề này khẳng định rằng với mọi số thực $x$ và $y$, tổng của chúng luôn bằng 1. Điều này rõ ràng là sai vì ta có thể chọn nhiều cặp số thực khác nhau mà tổng của chúng không bằng 1. Ví dụ, nếu $x = 2$ và $y = 3$, thì $x + y = 5 \neq 1$. Do đó, mệnh đề A là sai. b) Mệnh đề B: $\exists x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R}: x + y = 2$ Mệnh đề này khẳng định rằng tồn tại ít nhất một cặp số thực $x$ và $y$ sao cho tổng của chúng bằng 2. Điều này là đúng vì ta có thể chọn nhiều cặp số thực khác nhau mà tổng của chúng bằng 2. Ví dụ, nếu $x = 1$ và $y = 1$, thì $x + y = 2$. Do đó, mệnh đề B là đúng. c) Mệnh đề C: $\exists x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}: y = xy$ Mệnh đề này khẳng định rằng tồn tại một số thực $x$ sao cho với mọi số thực $y$, đẳng thức $y = xy$ luôn đúng. Ta sẽ kiểm tra từng trường hợp: - Nếu $x = 0$, thì $y = 0 \cdot y = 0$ chỉ đúng khi $y = 0$, nhưng không đúng với mọi $y$. - Nếu $x \neq 0$, thì $y = xy$ suy ra $y(1 - x) = 0$. Điều này chỉ đúng khi $y = 0$ hoặc $x = 1$. Nhưng $x = 1$ cũng không đảm bảo rằng $y = xy$ đúng với mọi $y$. Do đó, không tồn tại $x$ nào thỏa mãn điều kiện trên. Mệnh đề C là sai. d) Mệnh đề D: $\forall a \in \mathbb{R}, \exists b \in \mathbb{R}: a = 3b$ Mệnh đề này khẳng định rằng với mọi số thực $a$, tồn tại một số thực $b$ sao cho $a = 3b$. Điều này là đúng vì ta có thể chọn $b = \frac{a}{3}$, và rõ ràng $a = 3 \cdot \frac{a}{3} = a$. Do đó, mệnh đề D là đúng. Tóm lại: - Mệnh đề A: Sai - Mệnh đề B: Đúng - Mệnh đề C: Sai - Mệnh đề D: Đúng Câu 1: Ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một: a) $\sqrt{(-5)^2} = -5$ - Ta biết rằng $\sqrt{a^2} = |a|$. - Do đó, $\sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5$. - Vậy $\sqrt{(-5)^2} \neq -5$. - Mệnh đề này sai. b) $5^2 + 12^2 = 13^2$ - Tính $5^2 = 25$ và $12^2 = 144$. - Tính tổng $25 + 144 = 169$. - Tính $13^2 = 169$. - Vậy $5^2 + 12^2 = 13^2$. - Mệnh đề này đúng. c) $\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 > 0$ - Với mọi $x \in \mathbb{R}$, ta có $x^2 \geq 0$. - Do đó, $x^2 + 1 \geq 1 > 0$. - Vậy $x^2 + 1 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. - Mệnh đề này đúng. d) $\exists x \in \mathbb{Z}, x^2 + 3 = 0$ - Giả sử tồn tại $x \in \mathbb{Z}$ sao cho $x^2 + 3 = 0$. - Điều này có nghĩa là $x^2 = -3$. - Nhưng $x^2$ luôn không âm, tức là $x^2 \geq 0$. - Vì vậy, không tồn tại $x \in \mathbb{Z}$ thỏa mãn $x^2 + 3 = 0$. - Mệnh đề này sai. Tóm lại, trong các mệnh đề trên, có 2 mệnh đề đúng là: - Mệnh đề b) $5^2 + 12^2 = 13^2$ - Mệnh đề c) $\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 > 0$ Đáp án: Có 2 mệnh đề đúng. Câu 2: Để tìm giá trị lớn nhất của \( a \) sao cho bất đẳng thức \( x^2 - 2 + a > 0 \) đúng với mọi \( x \in \mathbb{R} \), ta sẽ làm như sau: 1. Xét biểu thức \( x^2 - 2 + a \). Ta cần đảm bảo rằng biểu thức này luôn dương với mọi \( x \in \mathbb{R} \). 2. Biểu thức \( x^2 - 2 + a \) có thể viết lại thành \( x^2 + (a - 2) \). 3. Để \( x^2 + (a - 2) > 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \), ta cần \( a - 2 \) phải đủ lớn để \( x^2 + (a - 2) \) luôn dương. 4. Vì \( x^2 \geq 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \), nên \( x^2 + (a - 2) \) sẽ luôn dương nếu \( a - 2 > 0 \). 5. Do đó, \( a - 2 > 0 \) suy ra \( a > 2 \). 6. Tuy nhiên, ta cần tìm giá trị lớn nhất của \( a \) sao cho bất đẳng thức vẫn đúng. Nếu \( a = 2 \), thì \( x^2 + (2 - 2) = x^2 \geq 0 \), nhưng không luôn dương. Vậy \( a \) phải lớn hơn 2. 7. Kiểm tra \( a = 2 \): - Nếu \( a = 2 \), thì \( x^2 - 2 + 2 = x^2 \geq 0 \), nhưng không luôn dương. Vậy \( a = 2 \) không thỏa mãn. 8. Kiểm tra \( a = 2 \) và \( a > 2 \): - Nếu \( a = 2 \), thì \( x^2 - 2 + 2 = x^2 \geq 0 \), nhưng không luôn dương. Vậy \( a = 2 \) không thỏa mãn. - Nếu \( a > 2 \), thì \( x^2 - 2 + a > 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \). 9. Kết luận: Giá trị lớn nhất của \( a \) để bất đẳng thức \( x^2 - 2 + a > 0 \) đúng với mọi \( x \in \mathbb{R} \) là \( a = 2 \). Đáp án: Giá trị lớn nhất của \( a \) là 2. Câu 3: Để xác định số lượng mệnh đề đúng và tìm mệnh đề phủ định của chúng, ta sẽ phân tích từng mệnh đề một cách chi tiết. a) Mệnh đề \( A: \forall x \in \mathbb{R}, x^2 \geq 0 \). - Phân tích: Với mọi số thực \( x \), bình phương của nó \( x^2 \) luôn không âm. Điều này là đúng vì bình phương của bất kỳ số thực nào cũng không thể âm. - Mệnh đề phủ định: \(\exists x \in \mathbb{R}, x^2 < 0\). (Tồn tại số thực \( x \) sao cho \( x^2 < 0 \)). b) Mệnh đề \( B: \) "Tồn tại số tự nhiên đều là số nguyên tố". - Phân tích: Số tự nhiên bao gồm các số \( 0, 1, 2, 3, \ldots \). Trong đó, chỉ có một số lượng hữu hạn các số nguyên tố (2, 3, 5, 7, ...). Không phải tất cả các số tự nhiên đều là số nguyên tố. Do đó, mệnh đề này sai. - Mệnh đề phủ định: "Không tồn tại số tự nhiên nào đều là số nguyên tố". c) Mệnh đề \( C: \exists x \in \mathbb{N}, x \) chia hết cho \( x+1 \). - Phân tích: Giả sử \( x \) chia hết cho \( x+1 \), tức là \( x = k(x+1) \) với \( k \) là số nguyên. Điều này dẫn đến \( x = kx + k \), suy ra \( x - kx = k \), hay \( x(1-k) = k \). Với \( x \in \mathbb{N} \), điều này chỉ xảy ra khi \( k = 0 \) và \( x = 0 \), nhưng \( 0 \notin \mathbb{N} \) (theo định nghĩa thông thường của số tự nhiên). Do đó, mệnh đề này sai. - Mệnh đề phủ định: \(\forall x \in \mathbb{N}, x\) không chia hết cho \( x+1 \). d) Mệnh đề \( D: \forall n \in \mathbb{N}, n^4 - n^2 + 1 \) là hợp số. - Phân tích: Xét \( n = 1 \), ta có \( n^4 - n^2 + 1 = 1^4 - 1^2 + 1 = 1 \), không phải là hợp số (hợp số là số có ít nhất ba ước dương). Do đó, mệnh đề này sai. - Mệnh đề phủ định: \(\exists n \in \mathbb{N}, n^4 - n^2 + 1\) là số nguyên tố hoặc không phải là hợp số. e) Mệnh đề \( E: \) "Tồn tại hình thang là hình vuông". - Phân tích: Hình vuông là một tứ giác có bốn cạnh bằng nhau và bốn góc vuông. Hình thang là tứ giác có ít nhất một cặp cạnh song song. Một hình vuông không thể chỉ có một cặp cạnh song song mà phải có hai cặp cạnh song song. Do đó, mệnh đề này sai. - Mệnh đề phủ định: "Không tồn tại hình thang nào là hình vuông". f) Mệnh đề \( F: \exists a \in \mathbb{R}, a+1+\frac{1}{a+1} \leq 2 \). - Phân tích: Đặt \( x = a+1 \), ta cần \( x + \frac{1}{x} \leq 2 \). Bất đẳng thức này đúng khi và chỉ khi \( x = 1 \) (theo bất đẳng thức AM-GM). Do đó, tồn tại \( a = 0 \) thỏa mãn điều kiện này. Mệnh đề này đúng. - Mệnh đề phủ định: \(\forall a \in \mathbb{R}, a+1+\frac{1}{a+1} > 2\). Kết luận: Có 2 mệnh đề đúng là \( A \) và \( F \).