Giải hộ mình câu này với các bạn

Bài 1: a) Mệnh đề P: "Số chính phương lớn nhất có hai chữ số là 81" Mệnh đề này là sai vì số chính phương lớn nhất có hai chữ số là 81, nhưng còn có số chính phương khác lớn hơn 81 là 99 (không phải số chính phương). Số chính phương lớn nhất có hai chữ số thực sự là 81. Mệnh đề phủ định của P là: "Số chính phương lớn nhất có hai chữ số không phải là 81". b) Mệnh đề Q: $\sqrt{2} > \frac{141}{100}$ Mệnh đề này là đúng vì $\sqrt{2} \approx 1.414$, trong khi $\frac{141}{100} = 1.41$. Vì vậy, $\sqrt{2} > \frac{141}{100}$. Mệnh đề phủ định của Q là: $\sqrt{2} \leq \frac{141}{100}$. c) Mệnh đề R: "Phương trình $-3x^2 + x + 2 = 0$ có nghiệm là số hữu tỉ âm" Để kiểm tra tính đúng sai của mệnh đề này, ta giải phương trình: $-3x^2 + x + 2 = 0$ Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ Trong đó, $a = -3$, $b = 1$, và $c = 2$. $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(-3)(2)}}{2(-3)}$ $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{-6}$ $x = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{-6}$ $x = \frac{-1 \pm 5}{-6}$ Do đó, ta có hai nghiệm: $x_1 = \frac{-1 + 5}{-6} = \frac{4}{-6} = -\frac{2}{3}$ $x_2 = \frac{-1 - 5}{-6} = \frac{-6}{-6} = 1$ Như vậy, phương trình có một nghiệm là số hữu tỉ âm ($-\frac{2}{3}$). Mệnh đề R là đúng. Mệnh đề phủ định của R là: "Phương trình $-3x^2 + x + 2 = 0$ không có nghiệm là số hữu tỉ âm". d) Mệnh đề T: $6^2 + 8^2 = (1 + 9)^2$ Mệnh đề này là sai vì: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$ $(1 + 9)^2 = 10^2 = 100$ Như vậy, $6^2 + 8^2 = 100$ và $(1 + 9)^2 = 100$, nên mệnh đề này là đúng. Mệnh đề phủ định của T là: $6^2 + 8^2 \neq (1 + 9)^2$. Bài 2: a) M: "Nếu -4 < 3 thì (-4)^2 < 3^2" Mệnh đề P: "-4 < 3" Mệnh đề Q: "(-4)^2 < 3^2" Ta thấy rằng P là mệnh đề đúng vì -4 thực sự nhỏ hơn 3. Tuy nhiên, Q lại là mệnh đề sai vì (-4)^2 = 16 và 3^2 = 9, do đó 16 không nhỏ hơn 9. Vì vậy, mệnh đề M là sai. b) N: "6 > 2 ⇒ 6 - 2 > 0" Mệnh đề P: "6 > 2" Mệnh đề Q: "6 - 2 > 0" Ta thấy rằng P là mệnh đề đúng vì 6 thực sự lớn hơn 2. Q cũng là mệnh đề đúng vì 6 - 2 = 4 và 4 lớn hơn 0. Vì cả P và Q đều đúng, nên mệnh đề N là đúng. Bài 3: Để phát biểu lại định lý "Nếu tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật thì hai đường chéo bằng nhau" bằng cách sử dụng các thuật ngữ "điều kiện cần" và "điều kiện đủ", ta cần hiểu rõ ý nghĩa của các thuật ngữ này: - Điều kiện đủ: Nếu điều kiện này được thỏa mãn, thì kết luận chắc chắn đúng. - Điều kiện cần: Để kết luận đúng, điều kiện này phải được thỏa mãn, nhưng điều kiện này một mình không đảm bảo kết luận đúng. Bây giờ, ta sẽ phân tích định lý: 1. Định lý gốc: "Nếu tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật thì hai đường chéo bằng nhau." - Đây là một phát biểu dạng "Nếu... thì...", trong đó "tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật" là giả thiết, và "hai đường chéo bằng nhau" là kết luận. 2. Điều kiện đủ: - Giả thiết "tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật" là điều kiện đủ để kết luận "hai đường chéo bằng nhau". Điều này có nghĩa là nếu \(ABCD\) là hình chữ nhật, thì chắc chắn hai đường chéo của nó bằng nhau. 3. Điều kiện cần: - Kết luận "hai đường chéo bằng nhau" là điều kiện cần để \(ABCD\) có thể là hình chữ nhật. Tuy nhiên, chỉ có điều kiện này không đủ để khẳng định \(ABCD\) là hình chữ nhật, vì có thể có các tứ giác khác (như hình thoi) cũng có hai đường chéo bằng nhau. Tóm lại, phát biểu lại định lý bằng cách sử dụng các thuật ngữ "điều kiện cần" và "điều kiện đủ" như sau: - "Tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật là điều kiện đủ để hai đường chéo của nó bằng nhau." - "Hai đường chéo của tứ giác \(ABCD\) bằng nhau là điều kiện cần để \(ABCD\) có thể là hình chữ nhật." Bài 4: Để phát biểu lại mệnh đề "Nếu một tứ giác là hình thoi thì tứ giác đó có hai đường chéo vuông góc" bằng cách sử dụng thuật ngữ "điều kiện cần" và "điều kiện đủ", ta cần hiểu rõ ý nghĩa của các thuật ngữ này: - Điều kiện cần: Là điều kiện mà nếu không có thì kết quả không thể xảy ra. Tuy nhiên, có điều kiện cần chưa chắc đã đủ để kết quả xảy ra. - Điều kiện đủ: Là điều kiện mà nếu có thì kết quả chắc chắn xảy ra. Tuy nhiên, có điều kiện đủ chưa chắc đã cần thiết để kết quả xảy ra. Bây giờ, ta sẽ phân tích mệnh đề đã cho: 1. Mệnh đề gốc: "Nếu một tứ giác là hình thoi thì tứ giác đó có hai đường chéo vuông góc." - Ở đây, "một tứ giác là hình thoi" là giả thiết. - "Tứ giác đó có hai đường chéo vuông góc" là kết luận. 2. Phân tích điều kiện cần và đủ: - Điều kiện đủ: Nếu một tứ giác là hình thoi, thì điều đó đủ để kết luận rằng tứ giác đó có hai đường chéo vuông góc. Điều này có nghĩa là hình thoi có hai đường chéo vuông góc là một đặc điểm của hình thoi. - Điều kiện cần: Để một tứ giác có thể là hình thoi, thì việc có hai đường chéo vuông góc là một điều kiện cần. Tuy nhiên, chỉ có hai đường chéo vuông góc không đủ để kết luận tứ giác đó là hình thoi, vì có thể có các tứ giác khác (như hình chữ nhật) cũng có hai đường chéo vuông góc. 3. Phát biểu lại mệnh đề: - "Một tứ giác là hình thoi là điều kiện đủ để tứ giác đó có hai đường chéo vuông góc." - "Tứ giác có hai đường chéo vuông góc là điều kiện cần để tứ giác đó có thể là hình thoi." Như vậy, ta đã sử dụng các thuật ngữ "điều kiện cần" và "điều kiện đủ" để phát biểu lại mệnh đề ban đầu. Bài 5: Để xác định xem hai mệnh đề P và Q có tương đương hay không, ta cần kiểm tra xem mệnh đề P có kéo theo mệnh đề Q và ngược lại, mệnh đề Q có kéo theo mệnh đề P hay không. Bước 1: Kiểm tra P kéo theo Q Mệnh đề P: "Tam giác ABC vuông tại A." Theo định lý Pythagore, nếu tam giác ABC vuông tại A, thì ta có: \[ AB^2 + AC^2 = BC^2. \] Điều này cho thấy mệnh đề P kéo theo mệnh đề Q. Bước 2: Kiểm tra Q kéo theo P Mệnh đề Q: "Tam giác ABC có \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \)." Nếu \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \), theo định lý đảo của định lý Pythagore, tam giác ABC phải vuông tại A. Điều này cho thấy mệnh đề Q kéo theo mệnh đề P. Kết luận: Vì mệnh đề P kéo theo mệnh đề Q và mệnh đề Q kéo theo mệnh đề P, hai mệnh đề này là tương đương. Định lý: Tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \). Điều này có nghĩa là điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông tại A là \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \). Bài 6: Để xác định xem hai mệnh đề P và Q có tương đương hay không, ta cần kiểm tra xem mệnh đề P có kéo theo mệnh đề Q và ngược lại, mệnh đề Q có kéo theo mệnh đề P hay không. Mệnh đề P: "Tứ giác ABCD là hình thoi." Mệnh đề Q: "Tứ giác ABCD là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc." Bước 1: Kiểm tra P kéo theo Q - Nếu tứ giác ABCD là hình thoi, thì theo định nghĩa, ABCD là một hình bình hành có bốn cạnh bằng nhau. - Một tính chất quan trọng của hình thoi là hai đường chéo của nó vuông góc với nhau. - Do đó, nếu ABCD là hình thoi, thì ABCD cũng là một hình bình hành có hai đường chéo vuông góc. Vậy, mệnh đề P kéo theo mệnh đề Q. Bước 2: Kiểm tra Q kéo theo P - Giả sử tứ giác ABCD là một hình bình hành có hai đường chéo vuông góc. - Trong một hình bình hành, nếu hai đường chéo vuông góc với nhau, thì hình bình hành đó là hình thoi (vì chỉ có hình thoi mới có tính chất này). Vậy, mệnh đề Q kéo theo mệnh đề P. Kết luận: Vì mệnh đề P kéo theo mệnh đề Q và mệnh đề Q kéo theo mệnh đề P, nên hai mệnh đề P và Q là tương đương. Định lý: "Tứ giác ABCD là hình thoi khi và chỉ khi ABCD là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc." Điều này có nghĩa là điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD là hình thoi là nó phải là một hình bình hành có hai đường chéo vuông góc. Bài 7: Ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề P và Q để xác định chúng có đúng hay không. Mệnh đề P: $\pi > 4$ - Ta biết rằng $\pi \approx 3.14$, do đó $\pi < 4$. - Vậy mệnh đề P là sai. Mệnh đề Q: $\pi^2 > 10$ - Ta tính $\pi^2 \approx 3.14^2 \approx 9.86$, do đó $\pi^2 < 10$. - Vậy mệnh đề Q cũng là sai. Do cả hai mệnh đề P và Q đều sai, nên chúng ta không thể nói rằng hai mệnh đề này tương đương nhau vì sự tương đương giữa hai mệnh đề đòi hỏi cả hai cùng đúng hoặc cùng sai trong mọi trường hợp. Tuy nhiên, ở đây cả hai đều sai nhưng không đủ để khẳng định sự tương đương. Vậy, hai mệnh đề P và Q không tương đương. Câu 1: Phủ định của một mệnh đề là một mệnh đề có giá trị đúng khi mệnh đề ban đầu sai và ngược lại. Mệnh đề "14 là số nguyên tố" sẽ sai nếu 14 không phải là số nguyên tố. Do đó, mệnh đề phủ định của nó là "14 không phải là số nguyên tố". Do đó, đáp án đúng là: C. "14 không phải là số nguyên tố". Câu 2: Phủ định của một mệnh đề khẳng định sẽ là một mệnh đề chối bỏ sự đúng đắn của nó. Mệnh đề ban đầu là $5 + 4 = 10$. Phủ định của mệnh đề này sẽ là $5 + 4 \ne 10$. Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~^{\prime\prime}5+4\ne10^{\prime\prime}. \] Câu 3: Phủ định của mệnh đề $^{\backprime\backprime}\sqrt2\leq2^{\prime\prime}$ là $^{\prime\prime}\sqrt2 > 2^{\prime\prime}$. Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~^{\prime\prime}\sqrt2 > 2^{\prime\prime}. \] Câu 4: Mệnh đề phủ định của mệnh đề "Phương trình \( ax^2 + bx + c = 0 \) (\( a \neq 0 \)) vô nghiệm" là mệnh đề khẳng định rằng phương trình này có ít nhất một nghiệm. Do đó, mệnh đề phủ định sẽ là: A. "Phương trình \( ax^2 + bx + c = 0 \) (\( a \neq 0 \)) có nghiệm". Lập luận chi tiết: - Mệnh đề gốc nói rằng phương trình \( ax^2 + bx + c = 0 \) (\( a \neq 0 \)) không có nghiệm nào cả (vô nghiệm). - Mệnh đề phủ định của nó sẽ là phương trình này có ít nhất một nghiệm, tức là có nghiệm. Vậy đáp án đúng là: A. "Phương trình \( ax^2 + bx + c = 0 \) (\( a \neq 0 \)) có nghiệm". Câu 5: Để xác định mệnh đề sai trong các mệnh đề đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết. Mệnh đề A: \[ \sqrt{23} < 5 \Rightarrow -2\sqrt{23} > -2 \cdot 5 \] Ta biết rằng: \[ \sqrt{23} < 5 \] Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với một số âm (-2), chiều của bất đẳng thức sẽ đổi chiều: \[ -2\sqrt{23} > -2 \cdot 5 \] \[ -2\sqrt{23} > -10 \] Mệnh đề này đúng. Mệnh đề B: \[ \pi < 4 \Leftrightarrow \pi^2 < 16 \] Ta biết rằng: \[ \pi < 4 \] Khi bình phương cả hai vế của bất đẳng thức (vì cả hai vế đều dương): \[ \pi^2 < 4^2 \] \[ \pi^2 < 16 \] Mệnh đề này đúng. Mệnh đề C: \[ -\pi < -2 \Leftrightarrow \pi^2 < 4 \] Ta biết rằng: \[ -\pi < -2 \] Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với -1 (chiều của bất đẳng thức sẽ đổi chiều): \[ \pi > 2 \] Khi bình phương cả hai vế của bất đẳng thức (vì cả hai vế đều dương): \[ \pi^2 > 2^2 \] \[ \pi^2 > 4 \] Mệnh đề này sai vì \(\pi^2\) không thể nhỏ hơn 4 nếu \(\pi > 2\). Mệnh đề D: \[ \sqrt{23} < 5 \Rightarrow 2\sqrt{23} < 25 \] Ta biết rằng: \[ \sqrt{23} < 5 \] Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với 2 (số dương): \[ 2\sqrt{23} < 2 \cdot 5 \] \[ 2\sqrt{23} < 10 \] Mệnh đề này đúng. Kết luận: Mệnh đề sai là: \[ \boxed{C} \]