giup minh voi

Câu 40: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng kiến thức về trung điểm và tính chất của vectơ trong tam giác. Cho tam giác \( \triangle ABC \) với \( D, E, F \) lần lượt là trung điểm của các cạnh \( BC, CA, AB \). Chúng ta cần tìm hệ thức đúng trong các lựa chọn đã cho. 1. Tính chất của trung điểm: - Vì \( D \) là trung điểm của \( BC \), ta có: \[ \overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \] - Vì \( E \) là trung điểm của \( CA \), ta có: \[ \overrightarrow{BE} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA}) \] - Vì \( F \) là trung điểm của \( AB \), ta có: \[ \overrightarrow{CF} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}) \] 2. Tổng các vectơ: - Tổng các vectơ \( \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{CF} \) là: \[ \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{CF} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) + \frac{1}{2}(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA}) + \frac{1}{2}(\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}) \] 3. Rút gọn biểu thức: - Khi cộng các vectơ lại, ta có: \[ \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{CF} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CB}) \] - Do tính chất của vectơ, ta biết rằng \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{0} \), \( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{0} \), và \( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{0} \). 4. Kết quả: - Vậy tổng các vectơ là: \[ \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{CF} = \overrightarrow{0} \] 5. So sánh với các lựa chọn: - Lựa chọn A: \(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{CF} = \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{CE} + \overrightarrow{BD}\) là đúng vì \(\overrightarrow{AF} + \overrightarrow{CE} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{0}\) do các vectơ này cũng tạo thành một tam giác. Do đó, hệ thức đúng là: \[ A.~\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{CF} = \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{CE} + \overrightarrow{BD}. \] Câu 41: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng các tính chất của hình lục giác đều và các phép toán vectơ. 1. Tính chất của hình lục giác đều: - Trong hình lục giác đều, các cạnh có độ dài bằng nhau và các góc ở tâm bằng nhau. - Tổng các vectơ đi theo chu vi của hình lục giác đều sẽ bằng vectơ không, tức là: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FA} = \overrightarrow{0} \] 2. Xét từng đẳng thức: A. \(\overrightarrow{AF} + \overrightarrow{FE} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD}\) - Xét các vectơ theo chu vi: \(\overrightarrow{AF} + \overrightarrow{FE} + \overrightarrow{ED} = \overrightarrow{AD}\). - Thay \(\overrightarrow{ED}\) bằng \(-\overrightarrow{AB}\) (vì \(\overrightarrow{ED} = -\overrightarrow{AB}\) trong chu vi), ta có: \[ \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{FE} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD} \] - Đẳng thức này đúng. B. \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{FE}\) - \(\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}\), do đó: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{FE} \] - Đẳng thức này không đúng vì hai vế không bằng nhau. C. \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FA} = 6|\overrightarrow{AB}|\) - Như đã phân tích ở trên, tổng các vectơ theo chu vi của hình lục giác đều là \(\overrightarrow{0}\), không phải là \(6|\overrightarrow{AB}|\). - Đẳng thức này không đúng. D. \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{DE} - \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0}\) - Xét các vectơ: \(\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}\), \(\overrightarrow{DE} = -\overrightarrow{ED}\), \(\overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{CD}\). - Thay vào, ta có: \[ \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{DE} - \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0} \] - Đẳng thức này đúng. Kết luận: Đẳng thức đúng là A và D. Câu 42: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng một số tính chất của trọng tâm và trung điểm trong tam giác. 1. Tính chất của trọng tâm G: - Trọng tâm G của tam giác ABC chia mỗi đường trung tuyến thành hai đoạn, trong đó đoạn nối từ đỉnh đến trọng tâm bằng 2 lần đoạn nối từ trọng tâm đến trung điểm. Cụ thể, nếu M là trung điểm của BC, thì $\overrightarrow{GM} = \frac{1}{3} \overrightarrow{GA}$. 2. Tính chất của điểm đối xứng $G_1$: - Điểm $G_1$ là điểm đối xứng của G qua M, do đó $\overrightarrow{MG_1} = -\overrightarrow{MG}$. - Từ đó, ta có $\overrightarrow{G_1M} = -\overrightarrow{GM}$. 3. Tính toán vectơ tổng $\overrightarrow{G_1B} + \overrightarrow{G_1C}$: - Ta có $\overrightarrow{G_1B} = \overrightarrow{G_1M} + \overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{G_1C} = \overrightarrow{G_1M} + \overrightarrow{MC}$. - Do M là trung điểm của BC, nên $\overrightarrow{MB} = -\overrightarrow{MC}$. - Vậy $\overrightarrow{G_1B} + \overrightarrow{G_1C} = (\overrightarrow{G_1M} + \overrightarrow{MB}) + (\overrightarrow{G_1M} + \overrightarrow{MC}) = 2\overrightarrow{G_1M}$. 4. Kết luận: - Từ các bước trên, ta thấy rằng $\overrightarrow{G_1B} + \overrightarrow{G_1C} = 2\overrightarrow{G_1M}$. - Do đó, đáp án đúng là $D.~\overrightarrow{G_1M}$. Vậy, vectơ tổng $\overrightarrow{G_1B} + \overrightarrow{G_1C}$ bằng $\overrightarrow{G_1M}$. Câu 43: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích từng khẳng định dựa trên điều kiện đã cho: \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}\). 1. Khẳng định 1: \(\overrightarrow{OG} = \overrightarrow{0}\) Trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) được xác định bởi công thức: \[ \overrightarrow{OG} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{3} \] Theo điều kiện đã cho, \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}\), do đó: \[ \overrightarrow{OG} = \frac{\overrightarrow{0}}{3} = \overrightarrow{0} \] Vậy khẳng định 1 là đúng. 2. Khẳng định 2: Tam giác \(ABC\) là tam giác vuông cân Để tam giác \(ABC\) là tam giác vuông cân, cần có hai cạnh bằng nhau và góc giữa chúng là \(90^\circ\). Tuy nhiên, từ điều kiện \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}\), ta không có thông tin nào chỉ ra rằng tam giác \(ABC\) là tam giác vuông cân. Do đó, khẳng định này không thể được xác định là đúng chỉ dựa vào điều kiện đã cho. 3. Khẳng định 3: Tam giác \(ABC\) là tam giác đều Điều kiện \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}\) cho thấy rằng \(O\) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) và các vectơ từ \(O\) đến các đỉnh của tam giác có tổng bằng \(\overrightarrow{0}\). Điều này chỉ xảy ra khi tam giác \(ABC\) là tam giác đều, vì chỉ khi đó các vectơ này mới có thể triệt tiêu lẫn nhau. Vậy khẳng định 3 là đúng. 4. Khẳng định 4: Tam giác \(ABC\) là tam giác cân Tam giác đều là một trường hợp đặc biệt của tam giác cân (vì có ba cạnh bằng nhau). Do đó, nếu tam giác \(ABC\) là tam giác đều, thì nó cũng là tam giác cân. Vậy khẳng định 4 là đúng. Tóm lại, các khẳng định đúng là 1, 3 và 4. Vậy có 3 khẳng định đúng. Đáp án: A. 3. Câu 44: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích từng khẳng định một cách chi tiết. Khẳng định 1: \(\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HD}\) - Ta biết rằng \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\), do đó \(\overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{0}\). - Điểm \(D\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(O\), do đó \(\overrightarrow{OD} = -\overrightarrow{OA}\). - Từ đó, \(\overrightarrow{HD} = \overrightarrow{HO} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{HO} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{HA}\). - Vậy \(\overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HC} = -\overrightarrow{HA} = \overrightarrow{HD}\). - Khẳng định 1 là đúng. Khẳng định 2: \(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HA}\) - Ta có \(\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OD} = 2\overrightarrow{OA}\). - Tương tự, \(\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OD}\) và \(\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OD}\). - Tổng \(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} = 2\overrightarrow{OA} + (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OD}) + (\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OD})\). - Điều này không bằng \(\overrightarrow{HA}\) trừ khi tam giác có tính chất đặc biệt. - Khẳng định 2 là sai. Khẳng định 3: \(\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HH_1}\), với \(H_1\) là điểm đối xứng của \(H\) qua \(O\). - Do \(H_1\) là điểm đối xứng của \(H\) qua \(O\), ta có \(\overrightarrow{OH_1} = -\overrightarrow{OH}\). - Vậy \(\overrightarrow{HH_1} = \overrightarrow{OH_1} - \overrightarrow{OH} = -2\overrightarrow{OH}\). - Từ \(\overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{0}\), ta có \(\overrightarrow{HH_1} = \overrightarrow{0}\). - Khẳng định 3 là đúng. Khẳng định 4: Nếu \(\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow0\) thì tam giác \(ABC\) là tam giác đều. - Điều kiện \(\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow0\) luôn đúng với mọi tam giác, không chỉ riêng tam giác đều. - Khẳng định 4 là sai. Tóm lại, có 2 khẳng định đúng là khẳng định 1 và khẳng định 3. Do đó, đáp án đúng là C. 2. Câu 45: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích từng đẳng thức và kiểm tra tính đúng sai của chúng dựa trên các tính chất của hình bình hành và trung điểm. 1. Đẳng thức A: \(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}\) - Ta có \(M\) là trung điểm của \(BC\), do đó \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\). - \(N\) là trung điểm của \(AD\), do đó \(\overrightarrow{AN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}\). - Trong hình bình hành, \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\). - Cộng hai vế của \(\overrightarrow{AM}\) và \(\overrightarrow{AN}\): \[ \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN} = \left(\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\right) + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} \] - Vì \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\), ta có: \[ \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \] - Đẳng thức A là đúng. 2. Đẳng thức B: \(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\) - Từ phân tích trên, ta có: \[ \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} \] - Trong hình bình hành, \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\). - Đẳng thức B là đúng. 3. Đẳng thức C: \(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{NC}\) - Ta có: \[ \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{M} + \overrightarrow{C} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} \] - Và: \[ \overrightarrow{NC} = \overrightarrow{N} + \overrightarrow{C} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} \] - Cộng hai vế: \[ \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{NC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} + \left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}\right) \] - Điều này không bằng \(\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN}\) đã tính ở trên. - Đẳng thức C là sai. 4. Đẳng thức D: \(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{DB}\) - Trong hình bình hành, \(\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AD}\). - Từ phân tích trên, \(\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\). - Đẳng thức D là sai vì \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} \neq \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AD}\). Kết luận: Đẳng thức sai là C và D. Tuy nhiên, theo yêu cầu chỉ tìm một đẳng thức sai, ta chọn đẳng thức C là sai. Câu 46: Để tìm đẳng thức sai trong các đẳng thức đã cho, ta cần kiểm tra từng đẳng thức một cách cẩn thận. Chúng ta sẽ sử dụng tính chất của vectơ, đặc biệt là tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng vectơ. A. \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB}\) - Xét vế trái: \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}\) - Xét vế phải: \(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}\) Vế trái và vế phải không bằng nhau, do đó đẳng thức này sai. B. \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{EA} = \overrightarrow{ED} + \overrightarrow{CB}\) - Xét vế trái: \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{EA}\) - Xét vế phải: \(\overrightarrow{ED} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}\) Vế trái và vế phải không bằng nhau, do đó đẳng thức này sai. C. \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{ED} + \overrightarrow{CF}\) - Xét vế trái: \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{CA}\) - Xét vế phải: \(\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{ED} + \overrightarrow{CF} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{CF}\) Vế trái và vế phải không bằng nhau, do đó đẳng thức này sai. D. \(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{0}\) - Xét tổng: \(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0}\) Đẳng thức này đúng vì tổng của các vectơ tạo thành một vòng kín. Kết luận: Đẳng thức sai là A, B và C.