Câu $\rm 3.$

Câu 3: Để tìm tốc độ tăng dân số tại thời điểm \( t = 10 \), chúng ta cần tính đạo hàm của hàm số \( P(t) \) và sau đó thay \( t = 10 \) vào đạo hàm này. Bước 1: Tính đạo hàm \( P'(t) \). Hàm số \( P(t) = \frac{400t}{t^2 + 8} \) là một phân thức, do đó chúng ta sẽ sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức để tính đạo hàm. Quy tắc đạo hàm của phân thức \( \frac{u}{v} \) là: \[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Trong đó: - \( u = 400t \) - \( v = t^2 + 8 \) Tính \( u' \) và \( v' \): \[ u' = 400 \] \[ v' = 2t \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của phân thức: \[ P'(t) = \frac{(400)(t^2 + 8) - (400t)(2t)}{(t^2 + 8)^2} \] Bước 2: Rút gọn biểu thức. \[ P'(t) = \frac{400(t^2 + 8) - 800t^2}{(t^2 + 8)^2} \] \[ P'(t) = \frac{400t^2 + 3200 - 800t^2}{(t^2 + 8)^2} \] \[ P'(t) = \frac{-400t^2 + 3200}{(t^2 + 8)^2} \] \[ P'(t) = \frac{-400(t^2 - 8)}{(t^2 + 8)^2} \] Bước 3: Thay \( t = 10 \) vào \( P'(t) \). \[ P'(10) = \frac{-400(10^2 - 8)}{(10^2 + 8)^2} \] \[ P'(10) = \frac{-400(100 - 8)}{(100 + 8)^2} \] \[ P'(10) = \frac{-400 \cdot 92}{108^2} \] \[ P'(10) = \frac{-36800}{11664} \] \[ P'(10) \approx -3.15 \] Làm tròn đến hàng phần chục: \[ P'(10) \approx -3.2 \] Vậy tốc độ tăng dân số tại thời điểm \( t = 10 \) là khoảng \(-3.2\) nghìn người/năm.