Hãy giải và chọn đáp án đúng giúp tôi

Câu 12: Để tính giá trị của \(\cos x\) khi biết \(\sin x = -\frac{3}{4}\) và \(\frac{3\pi}{2} < x < 2\pi\), ta thực hiện các bước sau: 1. Sử dụng công thức Pythagoras: Ta có: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] Thay giá trị \(\sin x = -\frac{3}{4}\) vào công thức trên: \[ \left(-\frac{3}{4}\right)^2 + \cos^2 x = 1 \] \[ \frac{9}{16} + \cos^2 x = 1 \] 2. Giải phương trình để tìm \(\cos^2 x\): \[ \cos^2 x = 1 - \frac{9}{16} \] \[ \cos^2 x = \frac{16}{16} - \frac{9}{16} \] \[ \cos^2 x = \frac{7}{16} \] 3. Tìm giá trị của \(\cos x\): \[ \cos x = \pm \sqrt{\frac{7}{16}} \] \[ \cos x = \pm \frac{\sqrt{7}}{4} \] 4. Xác định dấu của \(\cos x\) dựa vào khoảng giá trị của \(x\): Vì \(\frac{3\pi}{2} < x < 2\pi\), tức là \(x\) nằm trong góc phần tư thứ IV, nơi mà \(\cos x\) dương. Do đó, ta chọn giá trị dương: \[ \cos x = \frac{\sqrt{7}}{4} \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~\frac{1}{4}\sqrt{7}. \] Câu 13: Do \(\pi < x < \frac{3\pi}{2}\), suy ra \(x\) nằm ở góc phần tư thứ III, tức là cả sin và cos đều âm. Ta biết rằng: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] Thay giá trị \(\sin x = -\frac{3}{5}\) vào công thức trên: \[ \left(-\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 x = 1 \] \[ \frac{9}{25} + \cos^2 x = 1 \] \[ \cos^2 x = 1 - \frac{9}{25} \] \[ \cos^2 x = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} \] \[ \cos^2 x = \frac{16}{25} \] Vì \(x\) nằm ở góc phần tư thứ III, nên \(\cos x\) âm: \[ \cos x = -\frac{4}{5} \] Tiếp theo, ta tính \(\cot x\): \[ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{-\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = \frac{4}{3} \] Tuy nhiên, vì cả \(\sin x\) và \(\cos x\) đều âm, nên \(\cot x\) sẽ dương: \[ \cot x = \frac{4}{3} \] Như vậy, đáp án đúng là: \[ \boxed{A.~\frac{4}{3}} \] Câu 14: Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị của \(\sin 2x\) khi biết \(\cos 2x = \frac{3}{5}\). Trước tiên, ta sử dụng công thức lượng giác cơ bản: \[ \sin^2 2x + \cos^2 2x = 1 \] Thay \(\cos 2x = \frac{3}{5}\) vào công thức trên, ta có: \[ \sin^2 2x + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 2x + \frac{9}{25} = 1 \] \[ \sin^2 2x = 1 - \frac{9}{25} \] \[ \sin^2 2x = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} \] \[ \sin^2 2x = \frac{16}{25} \] Từ đó, ta có hai giá trị khả dĩ cho \(\sin 2x\): \[ \sin 2x = \pm \frac{4}{5} \] Bây giờ, ta cần xác định dấu của \(\sin 2x\). Do \(0^\circ < 2x < 90^\circ\), góc \(2x\) nằm trong góc phần tư thứ nhất, nơi mà cả \(\sin\) và \(\cos\) đều dương. Do đó, \(\sin 2x\) phải là số dương. Vậy, \(\sin 2x = \frac{4}{5}\). Đáp án đúng là \(A.~\frac{4}{5}.\) Câu 15: Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị của \(\sin x\) khi biết \(\cos x = \frac{3}{5}\) và \(0^\circ < 2x < 180^\circ\). Bước 1: Tìm điều kiện của \(x\) Từ \(0^\circ < 2x < 180^\circ\), ta chia cả hai vế cho 2 để tìm điều kiện của \(x\): \[ 0^\circ < x < 90^\circ \] Điều này có nghĩa là \(x\) nằm trong góc phần tư thứ nhất, nơi mà cả \(\sin x\) và \(\cos x\) đều dương. Bước 2: Sử dụng công thức lượng giác cơ bản Ta có công thức lượng giác cơ bản: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] Thay \(\cos x = \frac{3}{5}\) vào công thức trên: \[ \sin^2 x + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 x + \frac{9}{25} = 1 \] \[ \sin^2 x = 1 - \frac{9}{25} \] \[ \sin^2 x = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \] Bước 3: Tìm \(\sin x\) Vì \(x\) nằm trong góc phần tư thứ nhất, nên \(\sin x\) dương. Do đó: \[ \sin x = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \] Kết luận: Giá trị của \(\sin x\) là \(\frac{4}{5}\). Vậy đáp án đúng là \(C.~\frac{4}{5}.\) Câu 16: Do \(\frac{\pi}{2} < 2x < \pi\) nên góc \(2x\) nằm trong khoảng từ \(\frac{\pi}{2}\) đến \(\pi\), tức là \(2x\) thuộc góc phần tư thứ hai. Do đó, \(\sin 2x > 0\) và \(\cos 2x < 0\). Ta biết rằng: \[ \cos 2x = -\frac{3}{5} \] Sử dụng công thức Pythagoras để tìm \(\sin 2x\): \[ \sin^2 2x + \cos^2 2x = 1 \] \[ \sin^2 2x + \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 2x + \frac{9}{25} = 1 \] \[ \sin^2 2x = 1 - \frac{9}{25} \] \[ \sin^2 2x = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} \] \[ \sin^2 2x = \frac{16}{25} \] \[ \sin 2x = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \] (vì \(\sin 2x > 0\)). Tiếp theo, ta tính \(\tan 2x\): \[ \tan 2x = \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) = -\frac{4}{3} \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{A. -\frac{4}{3}} \] Câu 17: Để tính $\cot 2x$, trước tiên ta cần sử dụng công thức liên quan đến $\cos 2x$ và $\sin 2x$. Ta có: \[ \cos^2 2x + \sin^2 2x = 1 \] Biết rằng $\cos 2x = \frac{7}{25}$, ta có thể tính $\sin 2x$ như sau: \[ \sin^2 2x = 1 - \cos^2 2x = 1 - \left(\frac{7}{25}\right)^2 = 1 - \frac{49}{625} = \frac{625}{625} - \frac{49}{625} = \frac{576}{625} \] Do $0 < 2x < \frac{\pi}{2}$, nên $\sin 2x > 0$. Do đó: \[ \sin 2x = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25} \] Bây giờ, ta có thể tính $\cot 2x$: \[ \cot 2x = \frac{\cos 2x}{\sin 2x} = \frac{\frac{7}{25}}{\frac{24}{25}} = \frac{7}{24} \] Vậy, giá trị của $\cot 2x$ là $\frac{7}{24}$. Do đó, đáp án đúng là $A.~\frac{7}{24}$. Câu 18: Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị của $\sin 2x$ khi biết $\tan 2x = \frac{5}{12}$ và $\pi < 2x < \frac{3\pi}{2}$. 1. Xác định góc 2x thuộc góc phần tư nào: - Ta có $\pi < 2x < \frac{3\pi}{2}$, điều này cho thấy góc $2x$ nằm trong góc phần tư thứ ba. Trong góc phần tư thứ ba, $\sin 2x < 0$ và $\cos 2x < 0$. 2. Sử dụng công thức lượng giác: - Ta biết rằng $\tan 2x = \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \frac{5}{12}$. 3. Tìm $\sin 2x$ và $\cos 2x$: - Đặt $\sin 2x = a$ và $\cos 2x = b$. Khi đó, ta có $\frac{a}{b} = \frac{5}{12}$, suy ra $a = \frac{5}{12}b$. - Sử dụng công thức lượng giác cơ bản: $a^2 + b^2 = 1$. - Thay $a = \frac{5}{12}b$ vào phương trình trên, ta có: \[ \left(\frac{5}{12}b\right)^2 + b^2 = 1 \] \[ \frac{25}{144}b^2 + b^2 = 1 \] \[ \frac{25}{144}b^2 + \frac{144}{144}b^2 = 1 \] \[ \frac{169}{144}b^2 = 1 \] \[ b^2 = \frac{144}{169} \] \[ b = -\frac{12}{13} \quad (\text{vì } \cos 2x < 0 \text{ trong góc phần tư thứ ba}) \] - Từ $a = \frac{5}{12}b$, ta có: \[ a = \frac{5}{12} \times \left(-\frac{12}{13}\right) = -\frac{5}{13} \] 4. Kết luận: - Vậy $\sin 2x = -\frac{5}{13}$. Do đó, đáp án đúng là $B.~-\frac{5}{13}$. Câu 19: Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị của \(\sin x\) khi biết \(\tan x = \frac{3}{4}\) và \(0^\circ < 2x < 180^\circ\). Bước 1: Tìm điều kiện của \(x\) Từ \(0^\circ < 2x < 180^\circ\), ta chia cả hai vế cho 2 để tìm điều kiện của \(x\): \[ 0^\circ < x < 90^\circ \] Điều này cho thấy \(x\) nằm trong góc phần tư thứ nhất. Bước 2: Sử dụng định nghĩa của \(\tan x\) Ta có \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{3}{4}\). Bước 3: Sử dụng công thức lượng giác Ta biết rằng: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] Đặt \(\sin x = a\) và \(\cos x = b\). Từ \(\tan x = \frac{3}{4}\), ta có: \[ \frac{a}{b} = \frac{3}{4} \implies 4a = 3b \implies a = \frac{3}{4}b \] Thay vào phương trình \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\): \[ \left(\frac{3}{4}b\right)^2 + b^2 = 1 \] \[ \frac{9}{16}b^2 + b^2 = 1 \] \[ \frac{25}{16}b^2 = 1 \] \[ b^2 = \frac{16}{25} \] \[ b = \frac{4}{5} \quad (\text{vì } x \text{ thuộc góc phần tư thứ nhất, nên } \cos x > 0) \] Bước 4: Tính \(\sin x\) Từ \(a = \frac{3}{4}b\), ta có: \[ a = \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} = \frac{3}{5} \] Vậy \(\sin x = \frac{3}{5}\). Kết luận: Giá trị của \(\sin x\) là \(\frac{3}{5}\). Do đó, đáp án đúng là \(A.~\frac{3}{5}\). Câu 20: Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị của $\cos 2x$ khi biết $\tan 2x = -\frac{5}{12}$ và $90^\circ < 2x < 180^\circ$. 1. Xác định góc 2x thuộc góc phần tư nào: - Do $90^\circ < 2x < 180^\circ$, góc $2x$ thuộc góc phần tư thứ II. Trong góc phần tư này, $\tan 2x < 0$ và $\cos 2x < 0$. 2. Sử dụng công thức liên hệ giữa $\tan$ và $\cos$: - Ta có công thức: $\tan^2 \theta = \frac{1 - \cos^2 \theta}{\cos^2 \theta}$. - Thay $\theta = 2x$, ta có: $\tan^2 2x = \frac{1 - \cos^2 2x}{\cos^2 2x}$. 3. Tính $\tan^2 2x$: - Biết $\tan 2x = -\frac{5}{12}$, ta có $\tan^2 2x = \left(-\frac{5}{12}\right)^2 = \frac{25}{144}$. 4. Giải phương trình để tìm $\cos^2 2x$: - Thay vào công thức: $\frac{25}{144} = \frac{1 - \cos^2 2x}{\cos^2 2x}$. - Đặt $y = \cos^2 2x$, ta có phương trình: $\frac{25}{144} = \frac{1 - y}{y}$. - Giải phương trình: $25y = 144(1 - y)$. - $25y = 144 - 144y$. - $169y = 144$. - $y = \frac{144}{169}$. 5. Tìm $\cos 2x$: - Vì $y = \cos^2 2x = \frac{144}{169}$, nên $\cos 2x = \pm \sqrt{\frac{144}{169}} = \pm \frac{12}{13}$. - Do $2x$ thuộc góc phần tư thứ II, nên $\cos 2x < 0$. 6. Kết luận: - Vậy $\cos 2x = -\frac{12}{13}$. Đáp án đúng là: $D.~-\frac{12}{13}$.