Hãy giải giúp tôi các bài toán trên

Câu 1: Để đổi số đo của góc từ độ sang radian, ta sử dụng công thức chuyển đổi: \[ \text{Số đo góc (radian)} = \text{Số đo góc (độ)} \times \frac{\pi}{180} \] Áp dụng công thức này cho góc \(2010^\circ\): \[ 2010^\circ \times \frac{\pi}{180} = \frac{2010 \times \pi}{180} \] Bây giờ, ta thực hiện phép chia: \[ \frac{2010}{180} = \frac{2010 \div 30}{180 \div 30} = \frac{67}{6} \] Vậy số đo của góc \(2010^\circ\) đổi sang radian là: \[ \frac{67}{6}\pi \] Do đó, đáp án đúng là \(C.~\frac{67}{6}\pi.\) Câu 2: Để xác định điểm biểu diễn của góc \(11018''\) trên đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ mấy, ta cần thực hiện các bước sau: 1. Chuyển đổi đơn vị góc: Góc \(11018''\) được cho dưới dạng giây. Trước tiên, ta cần chuyển đổi từ giây sang độ. Ta biết rằng: \[ 1^\circ = 3600'' \] Do đó, góc \(11018''\) có thể được chuyển đổi thành độ như sau: \[ 11018'' = \frac{11018}{3600}^\circ \] 2. Tính toán: Thực hiện phép chia: \[ \frac{11018}{3600} \approx 3.06167^\circ \] 3. Xác định góc trên đường tròn lượng giác: Góc \(3.06167^\circ\) là một góc nhỏ hơn \(90^\circ\), do đó nó nằm trong góc phần tư thứ I. Vậy, điểm biểu diễn của góc \(11018''\) trên đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ I. Đáp án đúng là: D. I. Câu 3: Để tính độ dài cung trên đường tròn, ta sử dụng công thức tính độ dài cung: \[ l = R \cdot \theta \] trong đó: - \( l \) là độ dài cung, - \( R \) là bán kính của đường tròn, - \( \theta \) là số đo của cung tính bằng radian. Theo đề bài, bán kính \( R = 3 \) và số đo cung \( \theta = 4 \) radian. Thay các giá trị này vào công thức, ta có: \[ l = 3 \cdot 4 = 12 \] Vậy độ dài cung có số đo 4 radian trên đường tròn là 12. Đáp án đúng là D. 12. Câu 4: Để xác định góc $\frac{811\pi}{14}$ thuộc góc phần tư thứ mấy trên đường tròn lượng giác, ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm góc tương đương trong khoảng $[0, 2\pi)$: Trước tiên, ta cần đưa góc $\frac{811\pi}{14}$ về dạng góc nhỏ hơn $2\pi$. Ta thực hiện phép chia: \[ \frac{811\pi}{14} = \frac{811}{14} \times \pi \] Tính $\frac{811}{14}$: \[ \frac{811}{14} \approx 57.9286 \] Phần nguyên của kết quả trên là 57, do đó: \[ \frac{811\pi}{14} = 57\pi + \frac{3\pi}{14} \] Vậy góc tương đương trong khoảng $[0, 2\pi)$ là: \[ \frac{811\pi}{14} - 57\pi = \frac{3\pi}{14} \] 2. Xác định góc phần tư: Ta cần so sánh góc $\frac{3\pi}{14}$ với các mốc chia góc phần tư trên đường tròn lượng giác: - Góc phần tư thứ I: $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ - Góc phần tư thứ II: $\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ - Góc phần tư thứ III: $\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}$ - Góc phần tư thứ IV: $\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$ Ta có: \[ \frac{3\pi}{14} \approx 0.214\pi \] So sánh với $\frac{\pi}{2} \approx 1.57\pi$, ta thấy: \[ 0 < \frac{3\pi}{14} < \frac{\pi}{2} \] Do đó, góc $\frac{3\pi}{14}$ thuộc góc phần tư thứ I. Vậy, điểm biểu diễn của góc $\frac{811\pi}{14}$ trên đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ I. Đáp án đúng là A. I. Câu 5: Để viết công thức tổng quát của góc giữa hai tia \(OM\) và \(ON\), ta cần hiểu rằng góc này có thể được biểu diễn dưới dạng một góc lượng giác. Góc lượng giác có tính chất tuần hoàn với chu kỳ \(360^\circ\). Cho góc \(\widehat{MON} = 126^\circ\). Công thức tổng quát cho góc này sẽ là: \[ \widehat{MON} = 126^\circ + k \cdot 360^\circ, \, k \in \mathbb{Z}. \] Điều này có nghĩa là góc \(\widehat{MON}\) có thể được cộng thêm bất kỳ bội số nào của \(360^\circ\) để tạo ra các góc đồng dạng khác. Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~126^\circ + k \cdot 360^\circ, \, k \in \mathbb{Z}. \] Các đáp án khác không phù hợp vì: - \(126^\circ + k \cdot 180^\circ\) không phải là công thức tổng quát cho góc lượng giác, vì chu kỳ của góc lượng giác là \(360^\circ\), không phải \(180^\circ\). - \(126^\circ + k \cdot 90^\circ\) và \(126^\circ + k \cdot 270^\circ\) cũng không phù hợp vì chu kỳ của góc lượng giác không phải là \(90^\circ\) hay \(270^\circ\). Vậy đáp án đúng là A. Câu 6: Để giải quyết bài toán này, ta cần xem xét các giá trị của các hàm lượng giác trong khoảng $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$. 1. Xét $\cos x$: Trong khoảng $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$, góc $x$ nằm trong góc phần tư thứ ba của đường tròn lượng giác. Trong góc phần tư thứ ba, giá trị của $\cos x$ là âm. Do đó, phát biểu $A: \cos x < 0$ là đúng. 2. Xét $\cot x$: $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$. Trong góc phần tư thứ ba, cả $\cos x$ và $\sin x$ đều âm, do đó $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ sẽ dương. Vì vậy, phát biểu $B: \cot x > 0$ là đúng. 3. Xét $\tan x$: $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Trong góc phần tư thứ ba, cả $\sin x$ và $\cos x$ đều âm, do đó $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ sẽ dương. Vì vậy, phát biểu $C: \tan x < 0$ là sai. 4. Xét $\sin x$: Trong góc phần tư thứ ba, giá trị của $\sin x$ là âm. Do đó, phát biểu $D: \sin x < 0$ là đúng. Kết luận: Phát biểu sai là $C: \tan x < 0$. Câu 7: Để tính giá trị của \(\sin\left(\frac{\pi}{6} + (2k+3)\pi\right)\), ta cần sử dụng các công thức lượng giác cơ bản và tính chất của hàm số sin. 1. Phân tích biểu thức: Biểu thức cần tính là \(\sin\left(\frac{\pi}{6} + (2k+3)\pi\right)\). 2. Sử dụng tính chất chu kỳ của hàm số sin: Hàm số sin có chu kỳ là \(2\pi\), do đó: \[ \sin(x + 2\pi n) = \sin x \quad \text{với mọi số nguyên } n. \] Áp dụng tính chất này, ta có: \[ \sin\left(\frac{\pi}{6} + (2k+3)\pi\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6} + 2k\pi + 3\pi\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6} + \pi\right). \] 3. Sử dụng công thức cộng góc: Ta có công thức: \[ \sin(x + \pi) = -\sin x. \] Áp dụng công thức này, ta có: \[ \sin\left(\frac{\pi}{6} + \pi\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right). \] 4. Tính giá trị của \(\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\): Ta biết rằng: \[ \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}. \] Do đó: \[ -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}. \] 5. Kết luận: Vậy giá trị của \(\sin\left(\frac{\pi}{6} + (2k+3)\pi\right)\) là \(-\frac{1}{2}\). Do đó, đáp án đúng là \(A.~-\frac{1}{2}.\) Câu 8: Để tính giá trị của \(\sin\left(\frac{\pi}{6} + (2k+4)\pi\right)\), ta cần sử dụng tính chất của hàm số sin với chu kỳ \(2\pi\). 1. Xác định chu kỳ của hàm số sin: Hàm số sin có chu kỳ là \(2\pi\), nghĩa là: \[ \sin(x + 2\pi) = \sin(x) \] 2. Đơn giản hóa biểu thức: Biểu thức cần tính là \(\sin\left(\frac{\pi}{6} + (2k+4)\pi\right)\). Ta có thể viết lại: \[ \sin\left(\frac{\pi}{6} + 2k\pi + 4\pi\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6} + 2(k+2)\pi\right) \] 3. Sử dụng tính chất chu kỳ: Do \(\sin(x + 2\pi) = \sin(x)\), ta có: \[ \sin\left(\frac{\pi}{6} + 2(k+2)\pi\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \] 4. Tính giá trị của \(\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\): Ta biết rằng: \[ \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \] Vậy, giá trị của \(\sin\left(\frac{\pi}{6} + (2k+4)\pi\right)\) là \(\frac{1}{2}\). Do đó, đáp án đúng là \(A.~\frac{1}{2}\). Câu 9: Để tính $\cos x$ khi biết $\sin x = \frac{3}{5}$ và $0 < x < \frac{\pi}{2}$, ta có thể sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông. Cụ thể, ta áp dụng công thức: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] Thay giá trị $\sin x = \frac{3}{5}$ vào công thức trên, ta có: \[ \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 x = 1 \] \[ \frac{9}{25} + \cos^2 x = 1 \] \[ \cos^2 x = 1 - \frac{9}{25} \] \[ \cos^2 x = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} \] \[ \cos^2 x = \frac{16}{25} \] Do $0 < x < \frac{\pi}{2}$, nên $\cos x > 0$. Do đó, ta lấy căn bậc hai dương: \[ \cos x = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \] Vậy, giá trị của $\cos x$ là $\frac{4}{5}$. Đáp án đúng là $B.~\frac{4}{5}$. Câu 10: Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị của $\cos x$ khi biết $\sin x = \frac{5}{13}$ và $0^\circ < 2x < 180^\circ$. Bước 1: Tìm điều kiện của $x$. Từ $0^\circ < 2x < 180^\circ$, ta chia cả hai vế cho 2 để tìm điều kiện của $x$: \[ 0^\circ < x < 90^\circ. \] Điều này có nghĩa là $x$ thuộc góc phần tư thứ nhất, nơi mà cả $\sin x$ và $\cos x$ đều dương. Bước 2: Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông. Vì $\sin x = \frac{5}{13}$, ta có thể coi $x$ là góc trong một tam giác vuông, với cạnh đối diện góc $x$ là 5 và cạnh huyền là 13. Ta cần tìm cạnh kề của góc $x$. Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông, ta có: \[ \text{cạnh kề}^2 + \text{cạnh đối}^2 = \text{cạnh huyền}^2. \] Thay các giá trị vào, ta có: \[ \text{cạnh kề}^2 + 5^2 = 13^2. \] \[ \text{cạnh kề}^2 + 25 = 169. \] \[ \text{cạnh kề}^2 = 169 - 25 = 144. \] \[ \text{cạnh kề} = \sqrt{144} = 12. \] Bước 3: Tính $\cos x$. Vì $\cos x = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}}$, ta có: \[ \cos x = \frac{12}{13}. \] Vì $x$ thuộc góc phần tư thứ nhất, $\cos x$ là dương. Kết luận: Giá trị của $\cos x$ là $\frac{12}{13}$. Do đó, đáp án đúng là $A.~\frac{12}{13}$. Câu 11: Do \(0 < x < \frac{\pi}{2}\), suy ra \(\cos x > 0\). Ta có: \[ \cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \] Suy ra: \[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4} \] Đáp án đúng là: B. \(\frac{3}{4}\)