giải tất cả các câu hỏi trong ảnh bằng tự luận

Câu 13: Để giải bài toán này, ta cần xác định khoảng cách giữa hai xe sau 1 giờ di chuyển. Hai xe xuất phát từ cùng một điểm A và di chuyển theo hai hướng tạo với nhau một góc $60^\circ$. 1. Tính quãng đường mỗi xe đi được sau 1 giờ: - Xe thứ nhất chạy với tốc độ 30 km/h, nên sau 1 giờ, xe đi được quãng đường: \( s_1 = 30 \) km. - Xe thứ hai chạy với tốc độ 40 km/h, nên sau 1 giờ, xe đi được quãng đường: \( s_2 = 40 \) km. 2. Sử dụng định lý cosin để tính khoảng cách giữa hai xe: Định lý cosin cho tam giác có các cạnh \( a, b, c \) và góc \( \gamma \) đối diện với cạnh \( c \) là: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma) \] Ở đây, \( a = 30 \) km, \( b = 40 \) km, và góc giữa hai hướng đi của hai xe là \( 60^\circ \). 3. Thay số vào công thức: \[ c^2 = 30^2 + 40^2 - 2 \cdot 30 \cdot 40 \cdot \cos(60^\circ) \] Biết rằng \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \), ta có: \[ c^2 = 900 + 1600 - 2 \cdot 30 \cdot 40 \cdot \frac{1}{2} \] \[ c^2 = 900 + 1600 - 1200 \] \[ c^2 = 2300 - 1200 = 1300 \] 4. Tính \( c \): \[ c = \sqrt{1300} = \sqrt{100 \times 13} = 10\sqrt{13} \] Vậy, sau 1 giờ, khoảng cách giữa hai xe là \( 10\sqrt{13} \) km. Đáp án đúng là C. \( 10\sqrt{13} \) km. Câu 14: Để giải bài toán này, ta cần xác định khoảng cách giữa hai tàu sau 2 giờ di chuyển. Đầu tiên, ta tính quãng đường mà mỗi tàu đã đi được sau 2 giờ. - Tàu thứ nhất chạy với vận tốc 30 km/h, nên sau 2 giờ, quãng đường tàu thứ nhất đi được là: \[ s_1 = 30 \times 2 = 60 \text{ km} \] - Tàu thứ hai chạy với vận tốc 40 km/h, nên sau 2 giờ, quãng đường tàu thứ hai đi được là: \[ s_2 = 40 \times 2 = 80 \text{ km} \] Hai tàu đi theo hai hướng tạo với nhau một góc $60^\circ$. Để tìm khoảng cách giữa hai tàu sau 2 giờ, ta sử dụng định lý cosin trong tam giác có các cạnh $s_1$, $s_2$ và cạnh cần tìm là $d$ (khoảng cách giữa hai tàu): \[ d^2 = s_1^2 + s_2^2 - 2 \cdot s_1 \cdot s_2 \cdot \cos(60^\circ) \] Biết rằng $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, ta thay vào công thức: \[ d^2 = 60^2 + 80^2 - 2 \cdot 60 \cdot 80 \cdot \frac{1}{2} \] \[ d^2 = 3600 + 6400 - 4800 \] \[ d^2 = 5200 \] Do đó, khoảng cách $d$ giữa hai tàu là: \[ d = \sqrt{5200} = \sqrt{100 \times 52} = 10\sqrt{52} = 20\sqrt{13} \] Vậy sau 2 giờ, hai tàu cách xa nhau $20\sqrt{13}$ km. Đáp án đúng là $D.~20\sqrt{13}~km.$ Câu 15: Để tính khoảng cách \( AC \), ta sử dụng định lý cosin trong tam giác \( ABC \). Theo định lý cosin, ta có: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(ACB) \] Với các giá trị đã biết: - \( AB = 12 \) km - \( BC = 5 \) km - \(\angle ACB = 37^\circ\) Thay vào công thức: \[ AC^2 = 12^2 + 5^2 - 2 \cdot 12 \cdot 5 \cdot \cos(37^\circ) \] \[ AC^2 = 144 + 25 - 120 \cdot \cos(37^\circ) \] \[ AC^2 = 169 - 120 \cdot \cos(37^\circ) \] Giá trị của \(\cos(37^\circ) \approx 0.7986\). Thay vào: \[ AC^2 = 169 - 120 \cdot 0.7986 \] \[ AC^2 = 169 - 95.832 \] \[ AC^2 = 73.168 \] Lấy căn bậc hai: \[ AC \approx \sqrt{73.168} \approx 8.55 \] Do đó, không có đáp án nào khớp với kết quả tính toán. Có thể có sai sót trong đề bài hoặc đáp án. Tuy nhiên, theo cách tính trên, khoảng cách \( AC \approx 8.55 \) km. Câu 16: Để tìm công thức sai trong các công thức đã cho, chúng ta cần xem xét từng công thức một và so sánh với các định lý lượng giác cơ bản trong tam giác. 1. Công thức A: \(\frac{a}{\sin A} = 2R\) Đây là công thức đúng. Theo định lý sin trong tam giác, ta có: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \] với \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. 2. Công thức B: \(\sin A = \frac{a}{2R}\) Đây cũng là công thức đúng. Từ định lý sin, ta có: \[ \frac{a}{\sin A} = 2R \implies \sin A = \frac{a}{2R} \] 3. Công thức C: \(b\sin B = 2R\) Công thức này sai. Theo định lý sin, ta có: \[ \frac{b}{\sin B} = 2R \implies b = 2R \sin B \] Do đó, \(b\sin B = 2R\) là không đúng. 4. Công thức D: \(\sin C = \frac{c\sin A}{a}\) Công thức này đúng. Từ định lý sin, ta có: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \implies \sin C = \frac{c \sin A}{a} \] Kết luận: Công thức sai là công thức C: \(b\sin B = 2R\). Câu 17: Để tìm độ dài cạnh \( BC \) của tam giác \( ABC \), ta có thể sử dụng định lý sin trong tam giác. Trước tiên, ta cần xác định góc \( C \) của tam giác. Vì tổng ba góc trong tam giác bằng \( 180^\circ \), ta có: \[ C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ \] Bây giờ, áp dụng định lý sin: \[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin C} \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ \frac{BC}{\sin 60^\circ} = \frac{4}{\sin 75^\circ} \] Ta biết: \[ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ \] \[ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \] Thay vào phương trình: \[ \frac{BC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} \] Giải phương trình trên: \[ BC = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \] \[ = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \] Rút gọn biểu thức bằng cách nhân cả tử và mẫu với \( \sqrt{6} - \sqrt{2} \): \[ BC = \frac{8\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} \] \[ = \frac{8\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} \] \[ = \frac{8\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} \] \[ = 2\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \] \[ = 2(\sqrt{18} - \sqrt{6}) \] \[ = 2(3\sqrt{2} - \sqrt{6}) \] Vậy độ dài cạnh \( BC \) là \( 2\sqrt{6} \). Do đó, đáp án đúng là \( A. 2\sqrt{6} \). Câu 18: Để tính độ dài cạnh \( c \) của tam giác \( ABC \), ta có thể sử dụng định lý sin trong tam giác. Định lý sin cho biết: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \] Trong đó, \( a = 16,8 \), \( B = 56^\circ 13' \), \( C = 71^\circ \). Trước tiên, ta cần tính góc \( A \) của tam giác. Vì tổng ba góc trong tam giác bằng \( 180^\circ \), ta có: \[ A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 56^\circ 13' - 71^\circ \] Chuyển đổi \( 56^\circ 13' \) thành độ thập phân: \[ 56^\circ 13' = 56 + \frac{13}{60} = 56,2167^\circ \] Tính góc \( A \): \[ A = 180^\circ - 56,2167^\circ - 71^\circ = 52,7833^\circ \] Bây giờ, áp dụng định lý sin để tìm \( c \): \[ \frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A} \] Tính \( \sin A \) và \( \sin C \): \[ \sin A = \sin 52,7833^\circ \quad \text{và} \quad \sin C = \sin 71^\circ \] Sử dụng máy tính để tính giá trị: \[ \sin 52,7833^\circ \approx 0,7986 \quad \text{và} \quad \sin 71^\circ \approx 0,9455 \] Thay vào công thức: \[ \frac{c}{0,9455} = \frac{16,8}{0,7986} \] Giải phương trình trên để tìm \( c \): \[ c = \frac{16,8 \times 0,9455}{0,7986} \approx 19,9 \] Vậy độ dài cạnh \( c \) là \( 19,9 \). Đáp án đúng là D. 19,9. Câu 19: Để tính độ dài cạnh \( AC \) trong tam giác \( ABC \), ta có thể sử dụng định lý sin. Định lý sin cho biết: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \] Trong đó \( a, b, c \) lần lượt là độ dài các cạnh đối diện với các góc \( A, B, C \) của tam giác. Ở đây, ta cần tìm độ dài cạnh \( AC \), đối diện với góc \( B \). Trước tiên, ta cần tính góc \( C \) của tam giác \( ABC \). Ta có: \[ C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 68^\circ 12' - 34^\circ 44' \] Tính toán: - \( 180^\circ - 68^\circ 12' = 111^\circ 48' \) - \( 111^\circ 48' - 34^\circ 44' = 77^\circ 4' \) Vậy góc \( C = 77^\circ 4' \). Bây giờ, áp dụng định lý sin: \[ \frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C} \] Thay số vào: \[ \frac{AC}{\sin 34^\circ 44'} = \frac{117}{\sin 77^\circ 4'} \] Tính giá trị của các sin: - \(\sin 34^\circ 44' \approx 0.5708\) - \(\sin 77^\circ 4' \approx 0.9744\) Thay vào phương trình: \[ \frac{AC}{0.5708} = \frac{117}{0.9744} \] Giải phương trình trên để tìm \( AC \): \[ AC = \frac{117 \times 0.5708}{0.9744} \approx 68.6 \] Làm tròn đến số nguyên gần nhất, ta có \( AC \approx 68 \). Vậy độ dài \( AC \) là 68. Đáp án đúng là A. 68.