giúp mình với

Câu 31: Điều kiện xác định: $\sin x \neq 0$ và $\cos x \neq 0$ Ta có: $B = \frac{2}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x} + (\tan x - \cot x)^2 + 1$ $= \frac{2}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x} + \left(\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x}\right)^2 + 1$ $= \frac{2}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x} + \left(\frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x}\right)^2 + 1$ $= \frac{2}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x} + \frac{(\sin^2 x - \cos^2 x)^2}{\sin^2 x \cos^2 x} + 1$ $= \frac{2}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x} + \frac{\sin^4 x - 2 \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x}{\sin^2 x \cos^2 x} + 1$ Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác. Câu 32: Để rút gọn biểu thức \( C = (1 - \sin^2 x) \cot^2 x + 1 - \cot^2 x \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Nhận biết các công thức lượng giác cơ bản: - Ta biết rằng \( 1 - \sin^2 x = \cos^2 x \). - Và \( \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \). 2. Thay các công thức đã biết vào biểu thức: \[ C = (\cos^2 x) \left(\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}\right) + 1 - \left(\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}\right) \] 3. Rút gọn từng phần trong biểu thức: - Phần đầu tiên: \[ (\cos^2 x) \left(\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}\right) = \frac{\cos^4 x}{\sin^2 x} \] - Phần thứ hai: \[ 1 - \left(\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}\right) = 1 - \cot^2 x \] 4. Kết hợp lại: \[ C = \frac{\cos^4 x}{\sin^2 x} + 1 - \cot^2 x \] 5. Chuyển đổi \( \cot^2 x \) về dạng \( \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} \): \[ C = \frac{\cos^4 x}{\sin^2 x} + 1 - \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} \] 6. Gộp các phân số có cùng mẫu số: \[ C = \frac{\cos^4 x - \cos^2 x + \sin^2 x}{\sin^2 x} \] 7. Sử dụng công thức \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \): \[ C = \frac{\cos^4 x - \cos^2 x + 1 - \cos^2 x}{\sin^2 x} \] 8. Rút gọn tử số: \[ C = \frac{\cos^4 x - 2\cos^2 x + 1}{\sin^2 x} \] 9. Nhận thấy tử số là một hằng đẳng thức: \[ \cos^4 x - 2\cos^2 x + 1 = (\cos^2 x - 1)^2 \] 10. Thay vào biểu thức: \[ C = \frac{(\cos^2 x - 1)^2}{\sin^2 x} \] 11. Chuyển đổi \( \cos^2 x - 1 \) thành \( -\sin^2 x \): \[ C = \frac{(-\sin^2 x)^2}{\sin^2 x} = \frac{\sin^4 x}{\sin^2 x} = \sin^2 x \] Vậy, biểu thức \( C \) được rút gọn thành: \[ C = \sin^2 x \] Câu 33: Ta có: \[ D = \sqrt{\cos^4 x + 4 \sin^2 x} + \sqrt{\sin^4 x + 4 \cos^2 x}. \] Bây giờ ta sẽ biến đổi từng hạng tử trong biểu thức trên. Xét biểu thức đầu tiên: \[ \sqrt{\cos^4 x + 4 \sin^2 x}. \] Ta có: \[ \cos^4 x + 4 \sin^2 x = (\cos^2 x)^2 + 4 \sin^2 x. \] Do tính chất của các hàm lượng giác, ta biết rằng: \[ \cos^2 x + \sin^2 x = 1. \] Vì vậy, ta có thể viết lại biểu thức trên như sau: \[ \cos^4 x + 4 \sin^2 x = (\cos^2 x)^2 + 4(1 - \cos^2 x). \] \[ = \cos^4 x + 4 - 4 \cos^2 x. \] \[ = (\cos^2 x - 2)^2 + 4 - 4. \] \[ = (\cos^2 x - 2)^2. \] Vậy: \[ \sqrt{\cos^4 x + 4 \sin^2 x} = \sqrt{(\cos^2 x - 2)^2} = |\cos^2 x - 2|. \] Tương tự, xét biểu thức thứ hai: \[ \sqrt{\sin^4 x + 4 \cos^2 x}. \] Ta có: \[ \sin^4 x + 4 \cos^2 x = (\sin^2 x)^2 + 4 \cos^2 x. \] Do tính chất của các hàm lượng giác, ta biết rằng: \[ \cos^2 x + \sin^2 x = 1. \] Vì vậy, ta có thể viết lại biểu thức trên như sau: \[ \sin^4 x + 4 \cos^2 x = (\sin^2 x)^2 + 4(1 - \sin^2 x). \] \[ = \sin^4 x + 4 - 4 \sin^2 x. \] \[ = (\sin^2 x - 2)^2 + 4 - 4. \] \[ = (\sin^2 x - 2)^2. \] Vậy: \[ \sqrt{\sin^4 x + 4 \cos^2 x} = \sqrt{(\sin^2 x - 2)^2} = |\sin^2 x - 2|. \] Cuối cùng, ta có: \[ D = |\cos^2 x - 2| + |\sin^2 x - 2|. \] Vì \(\cos^2 x\) và \(\sin^2 x\) đều nằm trong khoảng từ 0 đến 1, nên cả hai biểu thức \(|\cos^2 x - 2|\) và \(|\sin^2 x - 2|\) đều bằng 2 - \(\cos^2 x\) và 2 - \(\sin^2 x\) tương ứng. Vậy: \[ D = (2 - \cos^2 x) + (2 - \sin^2 x) = 4 - (\cos^2 x + \sin^2 x) = 4 - 1 = 3. \] Đáp án cuối cùng là: \[ D = 3. \] Câu 34: Để rút gọn biểu thức \( E = \frac{\cos^3 x + 2\cos^2 x \sin x - \sin^2 x \cos x - 2\sin^3 x}{(\tan x - \cot x)(\cos x + 2\sin x)} \), ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Biểu thức có chứa \(\tan x\) và \(\cot x\), do đó cần đảm bảo rằng: \[ \cos x \neq 0 \quad \text{và} \quad \sin x \neq 0 \] Từ đây suy ra: \[ x \neq k\pi \quad \text{và} \quad x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z} \] Bước 2: Rút gọn tử số Ta có tử số: \[ \cos^3 x + 2\cos^2 x \sin x - \sin^2 x \cos x - 2\sin^3 x \] Nhóm các hạng tử: \[ (\cos^3 x - \sin^2 x \cos x) + (2\cos^2 x \sin x - 2\sin^3 x) \] Phân tích từng nhóm: \[ \cos x (\cos^2 x - \sin^2 x) + 2\sin x (\cos^2 x - \sin^2 x) \] Chú ý rằng \(\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x\): \[ \cos x \cos 2x + 2\sin x \cos 2x \] Nhóm lại: \[ \cos 2x (\cos x + 2\sin x) \] Bước 3: Rút gọn mẫu số Mẫu số: \[ (\tan x - \cot x)(\cos x + 2\sin x) \] Biến đổi \(\tan x\) và \(\cot x\): \[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}, \quad \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \] Do đó: \[ \tan x - \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{-\cos 2x}{\sin x \cos x} \] Mẫu số trở thành: \[ \left( \frac{-\cos 2x}{\sin x \cos x} \right) (\cos x + 2\sin x) = \frac{-\cos 2x (\cos x + 2\sin x)}{\sin x \cos x} \] Bước 4: Kết hợp tử số và mẫu số Biểu thức \(E\) trở thành: \[ E = \frac{\cos 2x (\cos x + 2\sin x)}{\frac{-\cos 2x (\cos x + 2\sin x)}{\sin x \cos x}} \] Rút gọn: \[ E = \frac{\cos 2x (\cos x + 2\sin x) \cdot \sin x \cos x}{-\cos 2x (\cos x + 2\sin x)} \] Hủy bỏ các hạng tử chung: \[ E = \frac{\sin x \cos x}{-1} = -\sin x \cos x \] Kết luận Biểu thức đã được rút gọn: \[ E = -\sin x \cos x \] Câu 35: Để rút gọn biểu thức \( H = \cos(x + 60^\circ) - 5\cos(120^\circ - x) - 6\sin(x + 60^\circ)\cot(x + 60^\circ) \) trong khoảng \( 0^\circ \leq x \leq 90^\circ \), ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Sử dụng công thức cộng góc: \[ \cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b \] \[ \cos(120^\circ - x) = \cos(120^\circ)\cos(x) + \sin(120^\circ)\sin(x) \] 2. Thay các giá trị đã biết: \[ \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}, \quad \sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \cos(120^\circ - x) = -\frac{1}{2}\cos(x) + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(x) \] 3. Biến đổi \( \cot(x + 60^\circ) \): \[ \cot(x + 60^\circ) = \frac{\cos(x + 60^\circ)}{\sin(x + 60^\circ)} \] \[ \sin(x + 60^\circ) = \sin x \cos 60^\circ + \cos x \sin 60^\circ = \frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x \] \[ \cos(x + 60^\circ) = \cos x \cos 60^\circ - \sin x \sin 60^\circ = \frac{1}{2}\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x \] \[ \cot(x + 60^\circ) = \frac{\frac{1}{2}\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x}{\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x} \] 4. Thay vào biểu thức \( H \): \[ H = \left(\frac{1}{2}\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right) - 5\left(-\frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right) - 6\sin(x + 60^\circ)\cot(x + 60^\circ) \] \[ H = \left(\frac{1}{2}\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right) - 5\left(-\frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right) - 6\left(\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)\left(\frac{\frac{1}{2}\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x}{\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x}\right) \] 5. Rút gọn từng phần: \[ H = \left(\frac{1}{2}\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right) - 5\left(-\frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right) - 6\left(\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)\left(\frac{\frac{1}{2}\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x}{\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x}\right) \] \[ H = \left(\frac{1}{2}\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right) - 5\left(-\frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right) - 6\left(\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)\left(\frac{\frac{1}{2}\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x}{\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x}\right) \] 6. Kết luận: \[ H = -6\sin x \] Đáp án cuối cùng: \[ \boxed{-6\sin x} \] Câu 36: Ta có: \[ P = \tan^2 x - \sin^2 x - \sin^2 x \tan^2 x + 1 \] Nhận thấy rằng \(\tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}\). Ta sẽ thay \(\tan^2 x\) bằng \(\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}\) trong biểu thức \(P\): \[ P = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \sin^2 x - \sin^2 x \cdot \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + 1 \] Tiếp theo, ta sẽ nhóm các hạng tử lại: \[ P = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \sin^2 x - \frac{\sin^4 x}{\cos^2 x} + 1 \] Chúng ta có thể viết lại biểu thức dưới dạng chung: \[ P = \frac{\sin^2 x - \sin^2 x \cos^2 x - \sin^4 x}{\cos^2 x} + 1 \] Ta biết rằng \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), do đó \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\). Thay \(\cos^2 x\) bằng \(1 - \sin^2 x\) trong biểu thức: \[ P = \frac{\sin^2 x - \sin^2 x (1 - \sin^2 x) - \sin^4 x}{1 - \sin^2 x} + 1 \] Tiếp tục đơn giản hóa: \[ P = \frac{\sin^2 x - \sin^2 x + \sin^4 x - \sin^4 x}{1 - \sin^2 x} + 1 \] \[ P = \frac{0}{1 - \sin^2 x} + 1 \] \[ P = 0 + 1 \] \[ P = 1 \] Vậy giá trị rút gọn của biểu thức \(P\) là: \[ P = 1 \] Câu 37: Để rút gọn biểu thức \( P = \frac{2}{\cos^2 x} + 3 - 2 \tan^2 x \), ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Biến đổi các biểu thức lượng giác về cùng một dạng: Ta biết rằng: \[ \tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \] và \[ \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \] 2. Thay các biểu thức đã biến đổi vào biểu thức ban đầu: \[ P = \frac{2}{\cos^2 x} + 3 - 2 \tan^2 x \] Thay \(\frac{1}{\cos^2 x}\) bằng \(1 + \tan^2 x\): \[ P = 2(1 + \tan^2 x) + 3 - 2 \tan^2 x \] 3. Phân phối và kết hợp các hạng tử: \[ P = 2 + 2 \tan^2 x + 3 - 2 \tan^2 x \] Kết hợp các hạng tử chứa \(\tan^2 x\): \[ P = 2 + 3 + (2 \tan^2 x - 2 \tan^2 x) \] \[ P = 2 + 3 + 0 \] \[ P = 5 \] 4. Kết luận: Biểu thức \( P \) đã được rút gọn thành hằng số 5. Do đó, giá trị của biểu thức \( P \) là: \[ \boxed{5} \]