giải giúpp

Câu 13: Để xác định số điểm cực trị của hàm số \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \), ta cần xét đạo hàm của hàm số. 1. Tính đạo hàm: Đạo hàm của hàm số là: \[ y' = 3ax^2 + 2bx + c \] 2. Tìm điểm cực trị: Điểm cực trị xảy ra khi \( y' = 0 \). Phương trình: \[ 3ax^2 + 2bx + c = 0 \] Đây là phương trình bậc hai. Số nghiệm của phương trình này sẽ cho biết số điểm cực trị của hàm số. 3. Xét số nghiệm của phương trình bậc hai: Để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt, điều kiện là: \[ \Delta = (2b)^2 - 4 \cdot 3a \cdot c = 4b^2 - 12ac > 0 \] Nếu \(\Delta > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt, tức là hàm số có hai điểm cực trị. 4. Quan sát đồ thị: Từ hình vẽ, ta thấy đồ thị có hai điểm cực trị: một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. 5. Kết luận: Số điểm cực trị của hàm số là 2. Vậy đáp án đúng là B. 2. Câu 14: Để xác định hàm số nào trong các hàm số đã cho là đồng biến trên khoảng, chúng ta cần kiểm tra đạo hàm của từng hàm số để xem đạo hàm có dương trên toàn bộ khoảng đó hay không. A. \( y = \frac{x-1}{x-2} \) Đạo hàm của \( y \): \[ y' = \frac{(x-2) - (x-1)}{(x-2)^2} = \frac{-1}{(x-2)^2} \] Do \( (x-2)^2 > 0 \) với mọi \( x \neq 2 \), nên \( y' < 0 \) với mọi \( x \neq 2 \). Vậy hàm số này nghịch biến trên các khoảng \( (-\infty, 2) \) và \( (2, +\infty) \). B. \( y = -x^3 - 3x \) Đạo hàm của \( y \): \[ y' = -3x^2 - 3 \] Do \( -3x^2 - 3 < 0 \) với mọi \( x \), nên hàm số này nghịch biến trên toàn bộ miền xác định của nó. C. \( y = x^3 + 3 \) Đạo hàm của \( y \): \[ y' = 3x^2 \] Do \( 3x^2 \geq 0 \) với mọi \( x \), nên hàm số này đồng biến trên toàn bộ miền xác định của nó. D. \( y = \frac{x+1}{x+3} \) Đạo hàm của \( y \): \[ y' = \frac{(x+3) - (x+1)}{(x+3)^2} = \frac{2}{(x+3)^2} \] Do \( (x+3)^2 > 0 \) với mọi \( x \neq -3 \), nên \( y' > 0 \) với mọi \( x \neq -3 \). Vậy hàm số này đồng biến trên các khoảng \( (-\infty, -3) \) và \( (-3, +\infty) \). Tóm lại, hàm số đồng biến trên toàn bộ miền xác định của nó là: \[ C.~y = x^3 + 3 \] Câu 15: Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số \( y = f(x) \) dựa trên đồ thị, ta cần quan sát các đoạn mà đồ thị đi xuống khi di chuyển từ trái sang phải. Quan sát đồ thị: 1. Trên khoảng \((-2; -1)\), đồ thị đi xuống, do đó hàm số nghịch biến trên khoảng này. 2. Trên khoảng \((0; \frac{1}{2})\), đồ thị cũng đi xuống, do đó hàm số nghịch biến trên khoảng này. Vậy, hàm số nghịch biến trên khoảng \((0; \frac{1}{2})\). Do đó, đáp án đúng là \( C.~(0;\frac{1}{2}) \). Câu 16: Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số \( y = f(x) \), ta cần dựa vào bảng xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \). Từ bảng xét dấu: - \( f'(x) > 0 \) trên các khoảng \((- \infty, -1)\) và \((2, +\infty)\), nghĩa là hàm số đồng biến trên các khoảng này. - \( f'(x) < 0 \) trên các khoảng \((-1, 0)\) và \((0, 2)\), nghĩa là hàm số nghịch biến trên các khoảng này. Do đó, hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-1, 0)\) và \((0, 2)\). Vậy đáp án đúng là \( C.~(1;2) \). Đối với câu hỏi thứ hai, ta có đạo hàm \( f'(x) = x + 1 \). - \( f'(x) = x + 1 = 0 \) khi \( x = -1 \). - \( f'(x) > 0 \) khi \( x > -1 \), nghĩa là hàm số đồng biến trên khoảng \((-1, +\infty)\). - \( f'(x) < 0 \) khi \( x < -1 \), nghĩa là hàm số nghịch biến trên khoảng \((- \infty, -1)\). Vậy đáp án đúng là \( C.~(-\infty;-1) \). Câu 18: Để xác định khoảng mà hàm số \( y = f(x) \) đồng biến, ta cần xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \). Đạo hàm của hàm số đã cho là: \[ f'(x) = (x - 2)^2 (1 - x) \] Ta sẽ tìm các điểm tới hạn bằng cách giải phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ (x - 2)^2 (1 - x) = 0 \] Phương trình này có nghiệm khi: \[ (x - 2)^2 = 0 \quad \text{hoặc} \quad (1 - x) = 0 \] \[ x = 2 \quad \text{hoặc} \quad x = 1 \] Như vậy, các điểm tới hạn là \( x = 1 \) và \( x = 2 \). Tiếp theo, ta sẽ xét dấu của \( f'(x) \) trên các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn này: \( (-\infty, 1) \), \( (1, 2) \), và \( (2, +\infty) \). 1. Trên khoảng \( (-\infty, 1) \): Chọn \( x = 0 \): \[ f'(0) = (0 - 2)^2 (1 - 0) = 4 \cdot 1 = 4 > 0 \] Do đó, \( f'(x) > 0 \) trên khoảng \( (-\infty, 1) \). 2. Trên khoảng \( (1, 2) \): Chọn \( x = 1.5 \): \[ f'(1.5) = (1.5 - 2)^2 (1 - 1.5) = (-0.5)^2 (-0.5) = 0.25 \cdot (-0.5) = -0.125 < 0 \] Do đó, \( f'(x) < 0 \) trên khoảng \( (1, 2) \). 3. Trên khoảng \( (2, +\infty) \): Chọn \( x = 3 \): \[ f'(3) = (3 - 2)^2 (1 - 3) = 1^2 \cdot (-2) = 1 \cdot (-2) = -2 < 0 \] Do đó, \( f'(x) < 0 \) trên khoảng \( (2, +\infty) \). Từ các kết quả trên, ta thấy rằng \( f'(x) > 0 \) chỉ trên khoảng \( (-\infty, 1) \). Điều này có nghĩa là hàm số \( y = f(x) \) đồng biến trên khoảng \( (-\infty, 1) \). Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~(-\infty;1) \] Câu 19: Để xác định khoảng đồng biến của hàm số \( y = 2x^4 + 1 \), ta cần tìm đạo hàm của hàm số và xét dấu của đạo hàm. 1. Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(2x^4 + 1) = 8x^3 \] 2. Xét dấu của đạo hàm \( y' = 8x^3 \): - Đạo hàm \( y' = 8x^3 \) sẽ dương khi \( x > 0 \) và âm khi \( x < 0 \). 3. Hàm số đồng biến khi đạo hàm \( y' > 0 \): - \( 8x^3 > 0 \) khi \( x > 0 \). Do đó, hàm số \( y = 2x^4 + 1 \) đồng biến trên khoảng \( (0; +\infty) \). Vậy đáp án đúng là: \[ C.~(0;+\infty). \] Câu 20: Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số \( y = \frac{2}{x^2 + 1} \), chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: Hàm số \( y = \frac{2}{x^2 + 1} \) có đạo hàm \( y' \). Ta có: \[ y = \frac{2}{x^2 + 1} \] Áp dụng công thức đạo hàm của phân thức: \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{2}{x^2 + 1} \right) \] Sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức: \[ y' = \frac{(2)'(x^2 + 1) - 2 \cdot (x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2} \] \[ y' = \frac{0 \cdot (x^2 + 1) - 2 \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} \] \[ y' = \frac{-4x}{(x^2 + 1)^2} \] 2. Xác định dấu của đạo hàm: Để hàm số \( y \) nghịch biến, đạo hàm \( y' \) phải âm (\( y' < 0 \)). Xét dấu của \( y' \): \[ y' = \frac{-4x}{(x^2 + 1)^2} \] Vì \( (x^2 + 1)^2 > 0 \) với mọi \( x \), nên dấu của \( y' \) phụ thuộc vào tử số \( -4x \). - Khi \( x > 0 \), \( -4x < 0 \), suy ra \( y' < 0 \). - Khi \( x < 0 \), \( -4x > 0 \), suy ra \( y' > 0 \). 3. Kết luận: Hàm số \( y = \frac{2}{x^2 + 1} \) nghịch biến khi \( y' < 0 \), tức là khi \( x > 0 \). Do đó, hàm số \( y = \frac{2}{x^2 + 1} \) nghịch biến trên khoảng \( (0, +\infty) \). Đáp án: Hàm số \( y = \frac{2}{x^2 + 1} \) nghịch biến trên khoảng \( (0, +\infty) \).