Hãy giải cho tôi

Câu 21: Để xác định khoảng đồng biến của hàm số \( y = 2x^4 + 1 \), ta cần tìm đạo hàm của hàm số và xét dấu của đạo hàm. 1. Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(2x^4 + 1) = 8x^3 \] 2. Xét dấu của đạo hàm \( y' = 8x^3 \): - Đạo hàm \( y' = 8x^3 \) sẽ dương khi \( x > 0 \) vì \( 8x^3 > 0 \) khi \( x > 0 \). - Đạo hàm \( y' = 8x^3 \) sẽ âm khi \( x < 0 \) vì \( 8x^3 < 0 \) khi \( x < 0 \). 3. Kết luận: - Hàm số \( y = 2x^4 + 1 \) đồng biến khi \( y' > 0 \), tức là khi \( x > 0 \). - Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng \( (0; +\infty) \). Vậy đáp án đúng là: \[ C.~(0;+\infty). \] Câu 22: Để xác định tính đơn điệu của hàm số \( y = x^4 - 2x^2 \), ta cần tìm đạo hàm của hàm số và xét dấu của đạo hàm. Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số. \[ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 2x^2) = 4x^3 - 4x \] Bước 2: Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn. \[ 4x^3 - 4x = 0 \] \[ 4x(x^2 - 1) = 0 \] \[ 4x(x - 1)(x + 1) = 0 \] \[ x = 0, \quad x = 1, \quad x = -1 \] Bước 3: Xét dấu của đạo hàm \( y' \) trên các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn \( x = -1, 0, 1 \). - Trên khoảng \( (-\infty, -1) \): Chọn \( x = -2 \): \[ y' = 4(-2)^3 - 4(-2) = 4(-8) + 8 = -32 + 8 = -24 < 0 \] Hàm số nghịch biến trên khoảng \( (-\infty, -1) \). - Trên khoảng \( (-1, 0) \): Chọn \( x = -0.5 \): \[ y' = 4(-0.5)^3 - 4(-0.5) = 4(-0.125) + 2 = -0.5 + 2 = 1.5 > 0 \] Hàm số đồng biến trên khoảng \( (-1, 0) \). - Trên khoảng \( (0, 1) \): Chọn \( x = 0.5 \): \[ y' = 4(0.5)^3 - 4(0.5) = 4(0.125) - 2 = 0.5 - 2 = -1.5 < 0 \] Hàm số nghịch biến trên khoảng \( (0, 1) \). - Trên khoảng \( (1, \infty) \): Chọn \( x = 2 \): \[ y' = 4(2)^3 - 4(2) = 4(8) - 8 = 32 - 8 = 24 > 0 \] Hàm số đồng biến trên khoảng \( (1, \infty) \). Bước 4: Kết luận về tính đơn điệu của hàm số. - Hàm số nghịch biến trên khoảng \( (-\infty, -1) \). - Hàm số đồng biến trên khoảng \( (-1, 0) \). - Hàm số nghịch biến trên khoảng \( (0, 1) \). - Hàm số đồng biến trên khoảng \( (1, \infty) \). Do đó, đáp án đúng là: D. Hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty, -2) \). Câu 23: Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số \( y = \frac{2}{x^2 + 1} \), ta cần tính đạo hàm của hàm số và xét dấu của đạo hàm. 1. Tính đạo hàm của hàm số: \[ y = \frac{2}{x^2 + 1} \] Áp dụng công thức đạo hàm của phân thức: \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{2}{x^2 + 1} \right) \] Ta có: \[ y' = \frac{(2)'(x^2 + 1) - 2(x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2} \] \[ y' = \frac{0 \cdot (x^2 + 1) - 2 \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} \] \[ y' = \frac{-4x}{(x^2 + 1)^2} \] 2. Xét dấu của đạo hàm \( y' \): - Đạo hàm \( y' = \frac{-4x}{(x^2 + 1)^2} \) sẽ âm khi tử số \( -4x \) âm, tức là \( x > 0 \). - Đạo hàm \( y' = \frac{-4x}{(x^2 + 1)^2} \) sẽ dương khi tử số \( -4x \) dương, tức là \( x < 0 \). 3. Kết luận: - Hàm số \( y = \frac{2}{x^2 + 1} \) nghịch biến khi \( y' < 0 \), tức là \( x > 0 \). - Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng \( (0; +\infty) \). Vậy đáp án đúng là: \[ B.~(0;+\infty) \] Câu 24: Để xác định tính đơn điệu của hàm số \( y = x^3 + 3x + 2 \), ta cần tìm đạo hàm của hàm số và xét dấu của đạo hàm này. Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số. \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 3x + 2) = 3x^2 + 3 \] Bước 2: Xét dấu của đạo hàm \( y' \). \[ y' = 3x^2 + 3 \] Ta thấy rằng \( 3x^2 \geq 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \). Do đó: \[ 3x^2 + 3 > 0 \quad \text{với mọi } x \in \mathbb{R} \] Bước 3: Kết luận về tính đơn điệu của hàm số. Vì \( y' > 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \), nên hàm số \( y = x^3 + 3x + 2 \) đồng biến trên toàn bộ miền xác định của nó, tức là trên khoảng \( (-\infty; +\infty) \). Do đó, mệnh đề đúng là: C. Hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty; +\infty) \). Câu 25: Để xác định tính đơn điệu của hàm số \( y = \sqrt{2x^2 + 1} \), ta cần tìm đạo hàm của hàm số này và xét dấu của đạo hàm. Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \( y = \sqrt{2x^2 + 1} \). Ta có: \[ y = \sqrt{2x^2 + 1} \] Sử dụng công thức đạo hàm của căn bậc hai, ta có: \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{2x^2 + 1} \right) = \frac{1}{2\sqrt{2x^2 + 1}} \cdot \frac{d}{dx} (2x^2 + 1) \] Tính đạo hàm của \( 2x^2 + 1 \): \[ \frac{d}{dx} (2x^2 + 1) = 4x \] Do đó: \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{2x^2 + 1}} \cdot 4x = \frac{4x}{2\sqrt{2x^2 + 1}} = \frac{2x}{\sqrt{2x^2 + 1}} \] Bước 2: Xét dấu của đạo hàm \( y' \). - Khi \( x > 0 \), thì \( 2x > 0 \) và \( \sqrt{2x^2 + 1} > 0 \). Do đó, \( y' > 0 \). Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \( (0; +\infty) \). - Khi \( x < 0 \), thì \( 2x < 0 \) và \( \sqrt{2x^2 + 1} > 0 \). Do đó, \( y' < 0 \). Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \( (-\infty; 0) \). - Khi \( x = 0 \), thì \( y' = 0 \). Đây là điểm dừng của hàm số. Bước 3: Kết luận. Dựa vào các kết quả trên, ta thấy rằng hàm số \( y = \sqrt{2x^2 + 1} \) đồng biến trên khoảng \( (0; +\infty) \). Vậy đáp án đúng là: A. Hàm số đồng biến trên khoảng \( (0; +\infty) \). Câu 26: Để xác định khoảng mà hàm số \( y = f(x) \) đồng biến, ta cần xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \). Cho \( f'(x) = (1-x)^2(x+1)^3(3-x) \). Bước 1: Xác định các điểm tới hạn của \( f'(x) \): - \( (1-x)^2 = 0 \Rightarrow x = 1 \) - \( (x+1)^3 = 0 \Rightarrow x = -1 \) - \( (3-x) = 0 \Rightarrow x = 3 \) Bước 2: Xét dấu của \( f'(x) \) trên các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn: - Khoảng \( (-\infty, -1) \): Chọn \( x = -2 \): \[ f'(-2) = (1-(-2))^2((-2)+1)^3(3-(-2)) = (3)^2(-1)^3(5) = 9 \cdot (-1) \cdot 5 = -45 < 0 \] Vậy \( f'(x) < 0 \) trên \( (-\infty, -1) \). - Khoảng \( (-1, 1) \): Chọn \( x = 0 \): \[ f'(0) = (1-0)^2(0+1)^3(3-0) = (1)^2(1)^3(3) = 1 \cdot 1 \cdot 3 = 3 > 0 \] Vậy \( f'(x) > 0 \) trên \( (-1, 1) \). - Khoảng \( (1, 3) \): Chọn \( x = 2 \): \[ f'(2) = (1-2)^2(2+1)^3(3-2) = (-1)^2(3)^3(1) = 1 \cdot 27 \cdot 1 = 27 > 0 \] Vậy \( f'(x) > 0 \) trên \( (1, 3) \). - Khoảng \( (3, +\infty) \): Chọn \( x = 4 \): \[ f'(4) = (1-4)^2(4+1)^3(3-4) = (-3)^2(5)^3(-1) = 9 \cdot 125 \cdot (-1) = -1125 < 0 \] Vậy \( f'(x) < 0 \) trên \( (3, +\infty) \). Bước 3: Kết luận: Hàm số \( y = f(x) \) đồng biến trên các khoảng mà \( f'(x) > 0 \). Từ đó, ta thấy rằng hàm số đồng biến trên khoảng \( (1, 3) \). Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~(1;3) \] Câu 27: Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số \( y = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 2019 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 2019\right) \] \[ y' = x^2 - 2x - 3 \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] Ta giải phương trình bậc hai này bằng công thức: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = -3 \): \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \] \[ x = \frac{6}{2} = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{-2}{2} = -1 \] 3. Xác định dấu của đạo hàm \( y' \) trên các khoảng: - Khoảng \( (-\infty, -1) \): Chọn \( x = -2 \): \[ y' = (-2)^2 - 2(-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 > 0 \] Hàm số đồng biến trên \( (-\infty, -1) \). - Khoảng \( (-1, 3) \): Chọn \( x = 0 \): \[ y' = 0^2 - 2(0) - 3 = -3 < 0 \] Hàm số nghịch biến trên \( (-1, 3) \). - Khoảng \( (3, +\infty) \): Chọn \( x = 4 \): \[ y' = 4^2 - 2(4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 > 0 \] Hàm số đồng biến trên \( (3, +\infty) \). 4. Kết luận: Hàm số \( y = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 2019 \) nghịch biến trên khoảng \( (-1, 3) \). Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{A.~(-1;3)} \] Câu 28: Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số \( y = \sqrt{2018x - x^2} \), ta cần tính đạo hàm của hàm số này và xét dấu của đạo hàm. 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y = \sqrt{2018x - x^2} \] Đặt \( u = 2018x - x^2 \), ta có: \[ y = \sqrt{u} \] Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp: \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u' \] Tính \( u' \): \[ u' = 2018 - 2x \] Do đó: \[ y' = \frac{2018 - 2x}{2\sqrt{2018x - x^2}} \] 2. Xác định khoảng nghịch biến: Hàm số \( y \) nghịch biến khi \( y' < 0 \). Xét dấu của \( y' \): \[ y' < 0 \implies \frac{2018 - 2x}{2\sqrt{2018x - x^2}} < 0 \] Vì \( 2\sqrt{2018x - x^2} > 0 \) (vì mẫu số luôn dương trong miền xác định của hàm số), nên: \[ 2018 - 2x < 0 \implies 2018 < 2x \implies x > 1009 \] 3. Kiểm tra miền xác định của hàm số: Hàm số \( y = \sqrt{2018x - x^2} \) xác định khi: \[ 2018x - x^2 \geq 0 \implies x(2018 - x) \geq 0 \] Giải bất phương trình này: \[ 0 \leq x \leq 2018 \] 4. Kết luận: Hàm số \( y = \sqrt{2018x - x^2} \) nghịch biến trên khoảng \( (1009; 2018) \). Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{A.~(1010;2018)} \] Câu 29: Để xác định khoảng đồng biến của hàm số \( y = -x^3 + 3x^2 - 4 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(-x^3 + 3x^2 - 4) = -3x^2 + 6x \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ -3x^2 + 6x = 0 \] \[ -3x(x - 2) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 \] 3. Xác định dấu của đạo hàm trên các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn: - Khoảng \((-\infty, 0)\): Chọn \( x = -1 \): \[ y'(-1) = -3(-1)^2 + 6(-1) = -3 - 6 = -9 < 0 \] Hàm số nghịch biến trên \((-\infty, 0)\). - Khoảng \((0, 2)\): Chọn \( x = 1 \): \[ y'(1) = -3(1)^2 + 6(1) = -3 + 6 = 3 > 0 \] Hàm số đồng biến trên \((0, 2)\). - Khoảng \((2, +\infty)\): Chọn \( x = 3 \): \[ y'(3) = -3(3)^2 + 6(3) = -27 + 18 = -9 < 0 \] Hàm số nghịch biến trên \((2, +\infty)\). 4. Kết luận: Hàm số \( y = -x^3 + 3x^2 - 4 \) đồng biến trên khoảng \((0, 2)\). Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{B.~(0;2)} \]