giúp tui với

Câu 18: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) = \frac{-x^2 + 16x - 16}{x - 16} \). 2. Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm cực trị. 3. Xác định giá trị cực tiểu \( y_1 \) và giá trị cực đại \( y_2 \). 4. Tính giá trị \( P = y_1 + 4y_2 \). Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) \). Hàm số \( f(x) = \frac{-x^2 + 16x - 16}{x - 16} \). Sử dụng công thức đạo hàm của phân thức: \[ f'(x) = \frac{(u'v - uv')}{v^2} \] trong đó \( u = -x^2 + 16x - 16 \) và \( v = x - 16 \). Tìm \( u' \) và \( v' \): \[ u' = -2x + 16 \] \[ v' = 1 \] Do đó: \[ f'(x) = \frac{(-2x + 16)(x - 16) - (-x^2 + 16x - 16)(1)}{(x - 16)^2} \] Phát triển tử số: \[ (-2x + 16)(x - 16) = -2x^2 + 32x + 16x - 256 = -2x^2 + 48x - 256 \] \[ -(-x^2 + 16x - 16) = x^2 - 16x + 16 \] Cộng lại: \[ -2x^2 + 48x - 256 + x^2 - 16x + 16 = -x^2 + 32x - 240 \] Vậy: \[ f'(x) = \frac{-x^2 + 32x - 240}{(x - 16)^2} \] Bước 2: Giải phương trình \( f'(x) = 0 \). \[ \frac{-x^2 + 32x - 240}{(x - 16)^2} = 0 \] Điều này xảy ra khi: \[ -x^2 + 32x - 240 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x^2 - 32x + 240 = 0 \] Sử dụng công thức nghiệm: \[ x = \frac{32 \pm \sqrt{32^2 - 4 \cdot 1 \cdot 240}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 960}}{2} \] \[ x = \frac{32 \pm \sqrt{64}}{2} \] \[ x = \frac{32 \pm 8}{2} \] Vậy: \[ x = \frac{40}{2} = 20 \] \[ x = \frac{24}{2} = 12 \] Bước 3: Xác định giá trị cực tiểu \( y_1 \) và giá trị cực đại \( y_2 \). Thay \( x = 20 \) vào \( f(x) \): \[ f(20) = \frac{-(20)^2 + 16(20) - 16}{20 - 16} = \frac{-400 + 320 - 16}{4} = \frac{-196}{4} = -49 \] Thay \( x = 12 \) vào \( f(x) \): \[ f(12) = \frac{-(12)^2 + 16(12) - 16}{12 - 16} = \frac{-144 + 192 - 16}{-4} = \frac{32}{-4} = -8 \] Vậy: \[ y_1 = -49 \] \[ y_2 = -8 \] Bước 4: Tính giá trị \( P = y_1 + 4y_2 \). \[ P = -49 + 4(-8) = -49 - 32 = -81 \] Đáp số: \( P = -81 \). Câu 19: Để tìm khoảng nghịch biến của hàm số \( y = f(x) = 2x^3 - 21x^2 + 72x + 1 \), ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = f'(x) = 6x^2 - 42x + 72 \] 2. Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 6x^2 - 42x + 72 = 0 \] Chia cả hai vế cho 6: \[ x^2 - 7x + 12 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2} = \frac{7 \pm 1}{2} \] Ta có: \[ x_1 = \frac{7 + 1}{2} = 4 \quad \text{và} \quad x_2 = \frac{7 - 1}{2} = 3 \] 3. Xác định dấu của đạo hàm \( f'(x) \) trên các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn: - Khoảng \((-\infty, 3)\): Chọn \( x = 2 \): \[ f'(2) = 6(2)^2 - 42(2) + 72 = 24 - 84 + 72 = 12 > 0 \] Hàm số đồng biến trên khoảng này. - Khoảng \((3, 4)\): Chọn \( x = 3.5 \): \[ f'(3.5) = 6(3.5)^2 - 42(3.5) + 72 = 6(12.25) - 147 + 72 = 73.5 - 147 + 72 = -1.5 < 0 \] Hàm số nghịch biến trên khoảng này. - Khoảng \((4, \infty)\): Chọn \( x = 5 \): \[ f'(5) = 6(5)^2 - 42(5) + 72 = 150 - 210 + 72 = 12 > 0 \] Hàm số đồng biến trên khoảng này. 4. Kết luận: Hàm số \( y = f(x) = 2x^3 - 21x^2 + 72x + 1 \) nghịch biến trên khoảng \((3, 4)\). 5. Tính độ dài khoảng \((3, 4)\): \[ \text{Độ dài khoảng} = 4 - 3 = 1 \] Vậy độ dài khoảng nghịch biến của hàm số là \( 1 \). Câu 20: Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm vận tốc \( v(t) \) của chất điểm. 2. Xác định khoảng thời gian \( (t_1; t_2) \) mà vận tốc của chất điểm giảm. 3. Tính \( T = t_2 - t_1 \). Bước 1: Tìm vận tốc \( v(t) \) Vận tốc \( v(t) \) của chất điểm tại thời điểm \( t \) là đạo hàm của hàm số \( x(t) \): \[ x(t) = t^3 - 6t^2 + 9t \] \[ v(t) = x'(t) = 3t^2 - 12t + 9 \] Bước 2: Xác định khoảng thời gian \( (t_1; t_2) \) mà vận tốc của chất điểm giảm Để xác định khoảng thời gian mà vận tốc giảm, chúng ta cần tìm đạo hàm của \( v(t) \) và xác định nơi đạo hàm này âm (giảm). \[ v'(t) = \frac{d}{dt}(3t^2 - 12t + 9) = 6t - 12 \] Đặt \( v'(t) = 0 \) để tìm các điểm dừng: \[ 6t - 12 = 0 \] \[ 6t = 12 \] \[ t = 2 \] Để xác định khoảng thời gian mà vận tốc giảm, chúng ta kiểm tra dấu của \( v'(t) \) trước và sau \( t = 2 \): - Khi \( t < 2 \), \( v'(t) = 6t - 12 \) âm (giảm). - Khi \( t > 2 \), \( v'(t) = 6t - 12 \) dương (tăng). Do đó, vận tốc của chất điểm giảm trong khoảng thời gian \( (0; 2) \). Bước 3: Tính \( T = t_2 - t_1 \) \[ t_1 = 0 \] \[ t_2 = 2 \] \[ T = t_2 - t_1 = 2 - 0 = 2 \] Vậy, \( T = 2 \). Đáp số: \( T = 2 \)