đáp án của câu hỏi âu 9 (1đ):,ểu thức $L=y-x,$ với x và y thỏa,ãn hệ bất phương trình,$2x+3y-6\leq0$,$x\geq0$ , đạt giá trị lớn,$2x-3y-1\leq0$,nấtlà a và đạt giá trị nhỏ nhấất à bb.,á trị a, b lần lượt là,$1.~a=3$ và $b=0.$,$3.~a=3$ và $b=-\frac98.$,$:.~a=\frac{25}8$ và $b=-2.$

Question

Accepted Answer

Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ L = y - x $ với điều kiện $ x $ và $ y $ thỏa mãn hệ bất phương trình:

1. $ 2x + 3y - 6 \leq 0 $
2. $ 2x - 3y - 1 \leq 0 $
3. $ x \geq 0 $

Chúng ta sẽ giải hệ bất phương trình này và tìm các giá trị của $ L $.

Bước 1: Tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình

- Từ bất phương trình $ 2x + 3y - 6 \leq 0 $, ta có:
  $$
  3y \leq -2x + 6 \quad \Rightarrow \quad y \leq -\frac{2}{3}x + 2
  $$

- Từ bất phương trình $ 2x - 3y - 1 \leq 0 $, ta có:
  $$
  3y \geq 2x - 1 \quad \Rightarrow \quad y \geq \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}
  $$

- Điều kiện $ x \geq 0 $.

Bước 2: Xác định miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ

Miền nghiệm là giao của các miền nửa mặt phẳng được xác định bởi các bất phương trình trên. Chúng ta cần tìm giao điểm của các đường thẳng:

- $ y = -\frac{2}{3}x + 2 $
- $ y = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} $

Giải hệ phương trình:
$$
-\frac{2}{3}x + 2 = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}
$$
$$
2 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}x
$$
$$
\frac{7}{3} = \frac{4}{3}x \quad \Rightarrow \quad x = \frac{7}{4}
$$

Thay $ x = \frac{7}{4} $ vào một trong hai phương trình để tìm $ y $:
$$
y = \frac{2}{3} \times \frac{7}{4} - \frac{1}{3} = \frac{14}{12} - \frac{1}{3} = \frac{14}{12} - \frac{4}{12} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}
$$

Giao điểm là $ \left( \frac{7}{4}, \frac{5}{6} \right) $.

Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $ L = y - x $

Xét các điểm biên của miền nghiệm:

- Điểm $ A(0, -\frac{1}{3}) $ từ $ y = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} $ khi $ x = 0 $.
- Điểm $ B(0, 2) $ từ $ y = -\frac{2}{3}x + 2 $ khi $ x = 0 $.
- Điểm $ C\left(\frac{7}{4}, \frac{5}{6}\right) $.

Tính $ L $ tại các điểm:

- Tại $ A(0, -\frac{1}{3}) $: $ L = -\frac{1}{3} - 0 = -\frac{1}{3} $.
- Tại $ B(0, 2) $: $ L = 2 - 0 = 2 $.
- Tại $ C\left(\frac{7}{4}, \frac{5}{6}\right) $: $ L = \frac{5}{6} - \frac{7}{4} = \frac{5}{6} - \frac{21}{12} = \frac{10}{12} - \frac{21}{12} = -\frac{11}{12} $.

Kết luận:

- Giá trị lớn nhất của $ L $ là $ 2 $, đạt được tại điểm $ B(0, 2) $.
- Giá trị nhỏ nhất của $ L $ là $-\frac{11}{12}$, đạt được tại điểm $ C\left(\frac{7}{4}, \frac{5}{6}\right) $.

Do đó, đáp án đúng là không có trong các lựa chọn đã cho. Tuy nhiên, nếu cần chọn gần đúng nhất, ta có thể chọn $ a = 2 $ và $ b = -\frac{11}{12} $.