Một chất điểm đang dao động điều hòa trên trục Ox với phương trình $x = 6 cos(4 \prod t + \prod /6)$ cm. tính quãng đường chất điểm đi được trong 0,125 giây đầu tiên

Question

Accepted Answer

Cho phương trình dao động điều hòa:  
$$ x = 6 \cos(4 \pi t + \frac{\pi}{6}) \text{ cm} $$

**Bước 1: Xác định các thông số**

- Biên độ: $ A = 6 \text{ cm} $  
- Tần số góc: $ \omega = 4 \pi \text{ rad/s} $  
- Pha ban đầu: $ \varphi = \frac{\pi}{6} $

**Bước 2: Tính chu kỳ $ T $**  
$$ T = \frac{2 \pi}{\omega} = \frac{2 \pi}{4 \pi} = \frac{1}{2} \text{ giây} = 0,5 \text{ s} $$

**Bước 3: Tính quãng đường trong 0,125 s**

- Thời gian xét: $ t = 0,125 \text{ s} $  
- Tính pha ban đầu:  
$$
\theta_0 = 4 \pi \times 0 + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}
$$

- Tính pha cuối:  
$$
\theta_1 = 4 \pi \times 0{,}125 + \frac{\pi}{6} = \pi/2 + \pi/6 = \frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}
$$

**Bước 4: Tính vị trí lúc đầu và lúc cuối**

- $ x_0 = A \cos \theta_0 = 6 \cos \frac{\pi}{6} = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \sqrt{3} \approx 5,196 \text{ cm} $

- $ x_1 = A \cos \theta_1 = 6 \cos \frac{2\pi}{3} = 6 \times (-\frac{1}{2}) = -3 \text{ cm} $

**Bước 5: Xác định quãng đường đi được**

Tuy nhiên, quãng đường đi được không phải là giá trị tuyệt đối của hiệu vị trí mà là tổng các đoạn đi qua trong quá trình dao động.

Trong khoảng thời gian $0 \to 0.125$ s, pha tăng từ $\pi/6$ đến $2\pi/3$, tức là đi qua góc:

$$
2\pi/3 - \pi/6 = \frac{4\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}
$$

Đó là quãng đi trong góc $\pi/2$, ta xem đồ thị dao động cosine:

- Ở $\theta = \pi/6$, $x > 0$, ở phần giảm dần từ đỉnh.  
- Ở $\theta = \pi/2$, $x = A \cos \pi/2 = 0$.  
- Ở $\theta = 2\pi/3$, $x = -3$ (đã qua 0, đi xuống âm).

Điều này cho thấy chất điểm đi từ vị trí $x_0 = 5,196$ cm qua $x = 0$ rồi đến $x_1 = -3$ cm.

Vậy quãng đường là:  
$$
S = |x_0 - 0| + |0 - x_1| = 5,196 + 3 = 8,196 \text{ cm}
$$

**Kết luận:**  
Quãng đường chất điểm đi được trong 0,125 giây đầu tiên là khoảng **8,2 cm**.

---

**Đáp số:**  
$$
\boxed{8,2 \text{ cm}}
$$