giải giúp e ạ

Câu 21: Để tìm giá trị của \( m \) sao cho góc giữa hai véc tơ \(\overrightarrow{u} = (1, 1, -2)\) và \(\overrightarrow{v} = (1, 0, m)\) bằng \(45^\circ\), ta sử dụng công thức tính góc giữa hai véc tơ: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{\|\overrightarrow{u}\| \cdot \|\overrightarrow{v}\|} \] Với \(\theta = 45^\circ\), ta có \(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Bước 1: Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}\): \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + (-2) \cdot m = 1 - 2m \] Bước 2: Tính độ dài của các véc tơ \(\|\overrightarrow{u}\|\) và \(\|\overrightarrow{v}\|\): \[ \|\overrightarrow{u}\| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \] \[ \|\overrightarrow{v}\| = \sqrt{1^2 + 0^2 + m^2} = \sqrt{1 + m^2} \] Bước 3: Thiết lập phương trình từ công thức góc: \[ \frac{1 - 2m}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{1 + m^2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Bước 4: Giải phương trình: Nhân chéo và bình phương hai vế để loại bỏ căn: \[ (1 - 2m)^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \cdot 6 \cdot (1 + m^2) \] \[ (1 - 2m)^2 = \frac{6}{2} \cdot (1 + m^2) \] \[ (1 - 2m)^2 = 3(1 + m^2) \] Mở rộng và giải phương trình: \[ 1 - 4m + 4m^2 = 3 + 3m^2 \] \[ 4m^2 - 3m^2 - 4m + 1 - 3 = 0 \] \[ m^2 - 4m - 2 = 0 \] Bước 5: Giải phương trình bậc hai: Sử dụng công thức nghiệm: \[ m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = -2\): \[ m = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} \] \[ m = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2} \] \[ m = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} \] \[ m = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} \] \[ m = 2 \pm \sqrt{6} \] Vậy giá trị của \( m \) có thể là \( m = 2 + \sqrt{6} \) hoặc \( m = 2 - \sqrt{6} \). Làm tròn đến hàng phần trăm, ta có: - \( m = 2 + \sqrt{6} \approx 4.45 \) - \( m = 2 - \sqrt{6} \approx -0.45 \) Vậy giá trị của \( m \) là \( 4.45 \) hoặc \( -0.45 \).