Giải giúp với

Câu 11: Để xác định mối quan hệ giữa các vectơ $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$, và $\overrightarrow{z}$, chúng ta cần xem xét các điều kiện để các vectơ cùng phương hoặc đồng phẳng. 1. Hai vectơ cùng phương: - Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương nếu tồn tại một số thực $k$ sao cho $\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{b}$. 2. Ba vectơ đồng phẳng: - Ba vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, và $\overrightarrow{c}$ đồng phẳng nếu tồn tại các số thực $m, n$ sao cho $\overrightarrow{c} = m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b}$. Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét từng lựa chọn: A. Hai vectơ $\overrightarrow{y};\overrightarrow{z}$ cùng phương. - Để hai vectơ này cùng phương, cần có $\overrightarrow{y} = k\overrightarrow{z}$ với $k$ là một số thực. Nếu không có thông tin cụ thể về các thành phần của $\overrightarrow{y}$ và $\overrightarrow{z}$, không thể khẳng định điều này đúng. B. Hai vectơ $\overrightarrow{x};\overrightarrow{y}$ cùng phương. - Tương tự, cần có $\overrightarrow{x} = k\overrightarrow{y}$ với $k$ là một số thực. Nếu không có thông tin cụ thể về các thành phần của $\overrightarrow{x}$ và $\overrightarrow{y}$, không thể khẳng định điều này đúng. C. Hai vectơ $\overrightarrow{x};\overrightarrow{z}$ cùng phương. - Cần có $\overrightarrow{x} = k\overrightarrow{z}$ với $k$ là một số thực. Nếu không có thông tin cụ thể về các thành phần của $\overrightarrow{x}$ và $\overrightarrow{z}$, không thể khẳng định điều này đúng. D. Ba vectơ $\overrightarrow{x};\overrightarrow{y};\overrightarrow{z}$ đồng phẳng. - Ba vectơ đồng phẳng nếu tồn tại $m, n$ sao cho $\overrightarrow{z} = m\overrightarrow{x} + n\overrightarrow{y}$. Nếu không có thông tin cụ thể về các thành phần của $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$, và $\overrightarrow{z}$, không thể khẳng định điều này đúng. Kết luận: Không có thông tin cụ thể về các thành phần của các vectơ, không thể khẳng định chắc chắn lựa chọn nào là đúng. Cần thêm thông tin về các vectơ để đưa ra kết luận chính xác. Câu 12: Để giải quyết bài toán này, ta cần kiểm tra từng khẳng định một cách chi tiết. Khẳng định A: Ba vectơ \(\overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}, \overrightarrow{z}\) đồng phẳng. Ba vectơ \(\overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}, \overrightarrow{z}\) đồng phẳng nếu tồn tại các số thực \(k_1, k_2, k_3\) không đồng thời bằng 0 sao cho: \[ k_1 \overrightarrow{x} + k_2 \overrightarrow{y} + k_3 \overrightarrow{z} = \overrightarrow{0}. \] Thay các vectơ vào, ta có: \[ k_1 (2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + k_2 (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}) + k_3 (-3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c}) = \overrightarrow{0}. \] Kết hợp các vectơ, ta có: \[ (2k_1 + k_2)\overrightarrow{a} + (k_1 - k_2 - 3k_3)\overrightarrow{b} + (-k_2 - 2k_3)\overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}. \] Vì \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}\) không đồng phẳng, nên hệ phương trình: \[ \begin{cases} 2k_1 + k_2 = 0, \\ k_1 - k_2 - 3k_3 = 0, \\ -k_2 - 2k_3 = 0, \end{cases} \] phải có nghiệm duy nhất là \(k_1 = k_2 = k_3 = 0\). Do đó, ba vectơ \(\overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}, \overrightarrow{z}\) không đồng phẳng. Khẳng định B: Hai vectơ \(\overrightarrow{x}, \overrightarrow{a}\) cùng phương. Hai vectơ \(\overrightarrow{x}\) và \(\overrightarrow{a}\) cùng phương nếu tồn tại \(k\) sao cho: \[ \overrightarrow{x} = k\overrightarrow{a}. \] Tuy nhiên, \(\overrightarrow{x} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\), không thể biểu diễn dưới dạng \(k\overrightarrow{a}\) vì có thêm thành phần \(\overrightarrow{b}\). Do đó, khẳng định này sai. Khẳng định C: Hai vectơ \(\overrightarrow{x}, \overrightarrow{b}\) cùng phương. Hai vectơ \(\overrightarrow{x}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng phương nếu tồn tại \(k\) sao cho: \[ \overrightarrow{x} = k\overrightarrow{b}. \] Tuy nhiên, \(\overrightarrow{x} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\), không thể biểu diễn dưới dạng \(k\overrightarrow{b}\) vì có thêm thành phần \(\overrightarrow{a}\). Do đó, khẳng định này sai. Khẳng định D: Ba vectơ \(\overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}, \overrightarrow{z}\) đôi một cùng phương. Để ba vectơ đôi một cùng phương, mỗi cặp vectơ phải cùng phương. Xét từng cặp: - \(\overrightarrow{x} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\) và \(\overrightarrow{y} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}\) không cùng phương vì không thể biểu diễn một vectơ dưới dạng bội của vectơ kia. - \(\overrightarrow{x} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\) và \(\overrightarrow{z} = -3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c}\) không cùng phương vì không thể biểu diễn một vectơ dưới dạng bội của vectơ kia. - \(\overrightarrow{y} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}\) và \(\overrightarrow{z} = -3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c}\) không cùng phương vì không thể biểu diễn một vectơ dưới dạng bội của vectơ kia. Do đó, khẳng định này sai. Kết luận: Không có khẳng định nào đúng. Câu 13: Để xác định 4 vectơ nào đồng phẳng trong không gian của hình hộp ABCD.A'B'C'D', ta cần kiểm tra xem có tồn tại một mặt phẳng chứa cả 4 vectơ đó hay không. Phân tích từng lựa chọn: A. $\overrightarrow{AC},~\overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AD},~\overrightarrow{AC^\prime}$ - $\overrightarrow{AC},~\overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AD}$ đều nằm trong mặt phẳng đáy ABCD của hình hộp. - $\overrightarrow{AC^\prime}$ không nằm trong mặt phẳng ABCD vì $C^\prime$ là điểm trên mặt phẳng trên của hình hộp. B. $\overrightarrow{A^\prime D},~\overrightarrow{AA^\prime},~\overrightarrow{A^\prime D^\prime},~\overrightarrow{DD^\prime}$ - $\overrightarrow{A^\prime D},~\overrightarrow{A^\prime D^\prime},~\overrightarrow{DD^\prime}$ đều nằm trong mặt phẳng A'D'D của hình hộp. - $\overrightarrow{AA^\prime}$ là vectơ nối từ đáy lên mặt phẳng trên, không nằm trong mặt phẳng A'D'D. C. $\overrightarrow{AC},~\overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AD},~\overrightarrow{AA^\prime}$ - $\overrightarrow{AC},~\overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AD}$ đều nằm trong mặt phẳng đáy ABCD. - $\overrightarrow{AA^\prime}$ là vectơ nối từ đáy lên mặt phẳng trên, không nằm trong mặt phẳng ABCD. D. $\overrightarrow{AB^\prime},~\overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AD},~\overrightarrow{AA^\prime}$ - $\overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AD},~\overrightarrow{AA^\prime}$ đều có thể được coi là nằm trong mặt phẳng chứa cạnh bên của hình hộp (mặt phẳng chứa A, B, D, A'). - $\overrightarrow{AB^\prime}$ không nằm trong mặt phẳng này vì $B^\prime$ là điểm trên mặt phẳng trên của hình hộp. Kết luận: Không có lựa chọn nào trong các lựa chọn A, B, C, D có 4 vectơ đồng phẳng. Tuy nhiên, nếu chỉ xét 3 vectơ đồng phẳng, thì trong lựa chọn C, $\overrightarrow{AC},~\overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AD}$ là đồng phẳng trong mặt phẳng ABCD.