Giup toi vơi

Câu 1: Để tính các giá trị lượng giác của góc \(\alpha = 120^\circ\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định góc liên quan: Góc \(\alpha = 120^\circ\) nằm ở góc phần tư thứ II trên đường tròn lượng giác. Ta có thể biểu diễn góc này dưới dạng: \[ \alpha = 180^\circ - 60^\circ \] Điều này cho thấy góc \(\alpha\) có góc liên quan là \(60^\circ\). 2. Tính các giá trị lượng giác: - Sin của góc \(120^\circ\): Trong góc phần tư thứ II, giá trị của sin là dương. Do đó: \[ \sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \] - Cos của góc \(120^\circ\): Trong góc phần tư thứ II, giá trị của cos là âm. Do đó: \[ \cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2} \] - Tan của góc \(120^\circ\): Trong góc phần tư thứ II, giá trị của tan là âm. Do đó: \[ \tan 120^\circ = \tan(180^\circ - 60^\circ) = -\tan 60^\circ = -\sqrt{3} \] 3. Kết luận: Các giá trị lượng giác của góc \(\alpha = 120^\circ\) là: \[ \sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 120^\circ = -\frac{1}{2}, \quad \tan 120^\circ = -\sqrt{3} \] Câu 2: Để tính góc \(\alpha\) khi biết \(\tan\alpha = \sqrt{3}\), ta cần tìm góc \(\alpha\) sao cho \(\tan\alpha = \sqrt{3}\). 1. Xét giá trị của \(\tan\alpha\): Ta biết rằng \(\tan\alpha = \frac{\text{đối diện}}{\text{kề}}\). Khi \(\tan\alpha = \sqrt{3}\), điều này có nghĩa là tỉ số giữa cạnh đối diện và cạnh kề của góc \(\alpha\) là \(\sqrt{3}\). 2. Tìm góc \(\alpha\): Trong nửa đường tròn đơn vị (góc phần tư I và II), ta có các giá trị đặc biệt của \(\tan\alpha\): - \(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\) - \(\tan 45^\circ = 1\) - \(\tan 60^\circ = \sqrt{3}\) Do đó, \(\tan\alpha = \sqrt{3}\) khi \(\alpha = 60^\circ\). 3. Kết luận: Góc \(\alpha\) có giá trị là \(60^\circ\). Câu 3: Để tính giá trị của biểu thức \( P = 2\sin^2\alpha - 5\cos^2\alpha \) khi biết \( \sin\alpha = \frac{1}{3} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm giá trị của \( \sin^2\alpha \). Ta có: \[ \sin\alpha = \frac{1}{3} \] \[ \sin^2\alpha = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} \] Bước 2: Tìm giá trị của \( \cos^2\alpha \). Sử dụng công thức Pythagoras trong lượng giác: \[ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \] \[ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha \] \[ \cos^2\alpha = 1 - \frac{1}{9} = \frac{9}{9} - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \] Bước 3: Thay các giá trị đã tìm được vào biểu thức \( P \). \[ P = 2\sin^2\alpha - 5\cos^2\alpha \] \[ P = 2 \cdot \frac{1}{9} - 5 \cdot \frac{8}{9} \] \[ P = \frac{2}{9} - \frac{40}{9} \] \[ P = \frac{2 - 40}{9} \] \[ P = \frac{-38}{9} \] Vậy giá trị của biểu thức \( P \) là: \[ P = \frac{-38}{9} \] Câu 4: Để tính các giá trị lượng giác của góc \(\alpha\) khi biết \(\sin\alpha = \frac{3}{5}\) và \(0 < \alpha < 90^\circ\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm \(\cos\alpha\): Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông, ta có: \[ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \] Thay \(\sin\alpha = \frac{3}{5}\) vào, ta có: \[ \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2\alpha = 1 \] \[ \frac{9}{25} + \cos^2\alpha = 1 \] \[ \cos^2\alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \] \[ \cos\alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \] Vì \(0 < \alpha < 90^\circ\), nên \(\cos\alpha\) dương. Do đó, \(\cos\alpha = \frac{4}{5}\). 2. Tìm \(\tan\alpha\): Ta có: \[ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4} \] 3. Tìm \(\cot\alpha\): Ta có: \[ \cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{4}{3} \] 4. Tìm \(\sec\alpha\): Ta có: \[ \sec\alpha = \frac{1}{\cos\alpha} = \frac{1}{\frac{4}{5}} = \frac{5}{4} \] 5. Tìm \(\csc\alpha\): Ta có: \[ \csc\alpha = \frac{1}{\sin\alpha} = \frac{1}{\frac{3}{5}} = \frac{5}{3} \] Tóm lại, các giá trị lượng giác của góc \(\alpha\) là: - \(\sin\alpha = \frac{3}{5}\) - \(\cos\alpha = \frac{4}{5}\) - \(\tan\alpha = \frac{3}{4}\) - \(\cot\alpha = \frac{4}{3}\) - \(\sec\alpha = \frac{5}{4}\) - \(\csc\alpha = \frac{5}{3}\) Câu 4: Bài làm: Điều kiện xác định: \(\sin \alpha \neq 0\) và \(\cos \alpha \neq -1\) Ta có: \[ \frac{1 - \cos \alpha}{\sin^2 \alpha} - \frac{1}{1 + \cos \alpha} \] Trước hết, ta sẽ biến đổi \(\sin^2 \alpha\) thành \(1 - \cos^2 \alpha\): \[ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha \] Do đó, ta có: \[ \frac{1 - \cos \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{1 - \cos \alpha}{1 - \cos^2 \alpha} \] Tiếp theo, ta sẽ biến đổi mẫu số \(1 - \cos^2 \alpha\) thành \((1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)\): \[ 1 - \cos^2 \alpha = (1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha) \] Do đó, ta có: \[ \frac{1 - \cos \alpha}{1 - \cos^2 \alpha} = \frac{1 - \cos \alpha}{(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)} = \frac{1}{1 + \cos \alpha} \] Bây giờ, ta sẽ thay vào biểu thức ban đầu: \[ \frac{1 - \cos \alpha}{\sin^2 \alpha} - \frac{1}{1 + \cos \alpha} = \frac{1}{1 + \cos \alpha} - \frac{1}{1 + \cos \alpha} = 0 \] Vậy, ta đã chứng minh được rằng: \[ \frac{1 - \cos \alpha}{\sin^2 \alpha} - \frac{1}{1 + \cos \alpha} = 0 \]