1. Đề thi vào 10 môn Toán Đà Nẵng năm 2021

Câu 1 (2,0 điểm):

a) Tính $$

b) Cho biểu thức $$ với $$ và $$.

Câu 2 (1,5 điểm):

Cho hàm số $$ có đồ thị (P) và đường thẳng $$

a) Vẽ đồ thị $$. Chứng minh rằng $$ luôn đi qua điểm $$.

b) Gọi $$ là hình chiếu của điểm $$ trên $$. Chứng minh rằng khi $$ thay đổi ($$) thì diện tích tam giác $$ không vượt quá $$(đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét).

Câu 3 (1,5 điểm):

Cho phương trình $$ với $$ là tham số

a) Giải phương trình (*) khi $$

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số $$ để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt $$ thỏa mãn $$.

Câu 4 (1,5 điểm):

a) Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng $$ và hiệu của số lớn và số bé bằng $$.

b) Một địa phương lên kế hoạch xét nghiệm SARS-CoV-2 cho $$ người trong một thời gian quy định. Nhờ cải tiến phương pháp nên mỗi giờ xét nghiệm được thêm $$ người. Vì thế, địa phương này hoàn thành sớm hơn kế hoạch là $$ giờ. Hỏi theo kế hoạch, địa phương này phải xét nghiệm trong thời gian bao nhiêu giờ?

Câu 5 (3,5 điểm):

Cho tam giác nhọn $$ $$, các đường cao $$ $$ cắt nhau tại $$.

a) Chứng minh rằng tứ giác $$ nội tiếp.

b) Gọi $$ là trung điểm của $$. Đường tròn đường kính $$ cắt $$ tại điểm $$ ($$ khác $$). Chứng minh rằng $$

c) Hai đường thẳng $$ và $$ cắt nhau tại $$. Chứng minh rằng $$ và hai đường thẳng nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác $$ song song với đường thẳng $$. 

Câu 1

Phương pháp:

a) Sử dụng hằng đẳng thức: $$

Thực hiện các phép tính với căn bậc hai.

b) Vận dụng hằng đẳng thức $$ xác định mẫu thức chung của biểu thức

Quy đồng các phân thức, thực hiện các phép toán từ đó rút gọn được biểu thức.

Cách giải:

a) Ta có:

Vậy $$.

b) Với $$ ta có:

Vậy với $$ thì $$.

Câu 2

Phương pháp:

a) Vẽ đồ thị của hàm số $$

+ Nhận xét về hệ số $$ và sự biến thiên của hàm số

+ Lập bảng giá trị tương ứng của $$ và $$

+ Xác định được các điểm mà đồ thị đi qua, vẽ đồ thị.

Thay $$ vào phương trình đường thẳng $$, ta chứng minh được điều luôn đúng, từ đó có được điều phải chứng minh.

b) Tính diện tích $$

Áp dụng định lý Py – ta – go, tính được $$

Biện luận, từ đó chứng minh được yêu cầu của đề bài.

Cách giải:

a) Parabol $$ có bề lõm hướng lên và nhận $$ làm trục đối xứng.

Hệ số $$ nên hàm số đồng biến khi $$ và nghịch biến khi $$.

Ta có bảng giá trị sau:

$$ Parabol $$ đi qua các điểm $$, $$, $$, $$, $$.

Đồ thị Parabol $$:

Thay $$ vào phương trình đường thẳng $$ ta được:

$$ (luôn đúng với mọi $$)

Vậy $$ luôn đi qua điểm $$ với mọi $$.

b)

Vì $$ vuông tại $$ nên ta có $$.

Áp dụng định lí Py – ta – go,  ta có: $$.

$$ (đpcm).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $$ vuông cân tại $$.

Câu 3

Phương pháp:

a) Thay $$ phương trình $$

Tính $$ (hoặc $$), sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn: $$ (hoặc $$), tính được nghiệm của phương trình, kết luận.

b) Phương trình $$ có hai nghiệm phân biệt $$ (hoặc $$)

Áp dụng hệ thức Vi – ét, tính được $$ theo $$

Vì $$ là nghiệm của phương trình (*) nên: $$

Khi đó, thày vào $$, tìm được giá trị $$

Cách giải:

a) Thay $$ vào phương trình (*) ta có:

Ta có: $$ nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt $$.

Vậy với $$ thì tập nghiệm của phương trình (*) là $$.

b) Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt $$$$ (luôn đúng với mọi $$).

$$ Phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt $$ với mọi $$.

Khi đó, áp dụng định lí Vi-ét ta có: $$

Vì $$ là nghiệm của phương trình (*) nên:

Khi đó ta có:

Vậy $$ là các giá trị thỏa mãn bài toán.

Bài 4

Phương pháp:

a) Gọi số lớn là $$, số bé là $$.

Từ giả thiết tổng và hiệu của hai số lập được hệ phương trình

Sử dụng phương pháp cộng đại số, tìm được nghiệm $$

Sử dụng phương pháp thế, tìm được nghiệm $$

Đối chiếu điều kiện, kết luận.

b) Theo kế hoạch, gọi số người được xét nghiệm trong một giờ là $$( người) $$

Từ đó, tính được thời gian xét nghiệm theo kế hoạch và thời gian xét nghiệm thực tế.

Từ giả của đề bài, lập được phương trình.

Giải phương trình, đối chiếu điều kiện và kết luận.

Cách giải:

a) Gọi số lớn là $$, số bé là $$.

Ta có tổng của hai số là $$ nên ta có phương trình $$

Hiệu của số lớn và số bé là $$ nên ta có phương trình $$

Từ $$ ta có hệ phương trình

Vậy số lớn là $$, số bé là $$.

b) Theo kế hoạch, gọi số người được xét nghiệm trong một giờ là $$( người) $$

Theo kế hoạch địa phương ý xét nghiệm $$ người hết $$ (giờ)

Thực tế, số người được xét nghiệm trong một giờ là $$ (người)

Thực tế, địa phương ý xét nghiệm $$ người hết $$( giờ)

Vì địa phương này hoàn thành sớm hơn kế hoạch $$ giờ nên ta có phương trình

Vậy theo kế hoạch, địa phương này cần $$ (giờ) để xét nghiệm xong.

Câu 5

Phương pháp:

a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có hai đỉnh kề một cạnh cùng nhìn cạnh đối diện các góc bằng nhau là tứ giác nội tiếp.

b) + Chứng minh được: $$(2 góc nội tiếp cùng chắn cung $$)

+ Chứng minh: $$$$

c) + Chứng minh được: Đường nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác $$ là đường nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tứ giác $$ và $$, suy ra đường nối tâm vuông góc với $$

Gọi $$

Chứng minh: $$, $$, $$ từ đó, suy ra $$

Chứng minh: $$ là tứ giác nội tiếp (tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

$$$$  (**)

Từ (*) và (**) suy ra đường nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác $$ song song với $$ (đpcm)

Cách giải:

a) Ta có: $$ là các đường cao của $$ nên $$

$$ là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh kề một cạnh cùng nhìn cạnh đối diện các góc bằng nhau).

b) Ta có: $$

$$ nội tiếp đường tròn đường kính $$ (định nghĩa)

Mà đường tròn đường kính $$ cắt $$ tại $$.

$$ Năm điểm $$ cùng thuộc một đường tròn.

$$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung $$)

Mà $$ (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp $$)

$$.

Xét $$ và $$ có: $$ (cmt); $$ chung.

$$$$ (2 cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

$$ (đpcm)

c) Ta có $$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung $$)

Mà $$ (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp $$)

$$.

Lại có $$ (kề bù) $$.

$$ là tứ giác nội tiếp (dhnb) $$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $$).

Lại có $$ (định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông) $$ cân tại $$.

$$ (2 góc ở đáy của tam giác cân).

$$.

Xét $$ và $$ có: $$ chung ; $$ (cmt)

$$ $$ (2 góc tương ứng (đpcm).

Ta có $$ nên $$ là tứ  giác nội tiếp (tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện).

$$ Đường nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác $$ là đường nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tứ giác $$ và $$.

Giao của hai tứ giác  $$ và $$ là $$.

$$ Đường nối tâm vuông góc với $$

Gọi $$ $$.

Mà $$ $$ nội tiếp (tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).

$$ (1) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).

Mà $$(2) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung $$).

       $$ ($$ là trung tuyến của $$ vuông tại $$ nên $$).

       $$ (Cùng phụ $$)

Từ (1), (2) và (3) suy ra

Xét $$ và $$ có: $$ chung; $$ (cmt)

Có: $$$$

Mà $$(cmt) $$

$$$$ (2 góc tương ứng)

$$ là tứ giác nội tiếp (tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện).

$$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung $$) $$ hay $$  (**)

Từ (*) và (**) suy ra đường nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác $$ song song với $$ (đpcm).