3. Đề thi vào 10 môn Toán Đà Nẵng năm 2019

Bài 1 (1,5 điểm)

a)  Tính $$

b) Cho biểu thức $$ với $$ Tìm $$ sao cho $$ có giá trị là $$

Bài 2 (2 điểm) 

a) Giải hệ phương trình $$.

b) Giải phương trình $$.

Bài 3 (1,5 điểm)  Cho hai hàm số $$ và $$.

a) Vẽ đồ thị các hàm số này trên cùng một phẳng tọa độ.

b) Tìm tọa độ hai giao điểm A và B của hai đồ thị đó. Tính khoảng cách từ điểm $$ đến đường thẳng $$.

Bài 4 (1 điểm) 

Cho phương trình $$ với $$ là tham số. Tìm tất cả các giá trị của $$ để phương trình đã cho có hai nghiệm $$ thỏa mãn hệ thức: $$

Bài 5 (1 điểm) 

Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích $$ Nếu giảm chiểu rộng $$ và tăng chiều dài $$ thì diện tích mảnh đất tăng thêm $$ Tính kích thước của mảnh đất.

Bài 6 (3 điểm) 

Cho đường tròn $$ tâm $$, đường kính $$ và $$ là điểm nằm trên đoạn thẳng $$ (với $$). Kẻ dây $$ của đường tròn $$ vuông góc với $$ tại trung điểm $$ của $$. Gọi $$ là giao điểm thứ hai của $$ với đường tròn đường kính $$.

a) Chứng minh tứ giác $$ là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh $$ song song với $$ và ba điểm $$ thẳng hàng.

c) Đường thẳng qua $$ vuông góc với $$ cắt đường tròn $$ tại hai điểm $$ và $$ (với $$ thuộc cung nhỏ $$). Chứn mginh $$. 

Bài 1 (1,5 điểm)

Phương pháp:

a) Sử dụng công thức: $$

b) Rút gọn biểu thức $$ sau đó giải phương trình $$ tìm $$, đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

Cách giải:

a)  Tính $$

Vậy$$

b) Cho biểu thức $$ với $$ Tìm $$ sao cho $$ có giá trị là $$

Điều kiện: $$

Ta có: $$$$

Vậy $$ thì $$ có giá trị là $$

Bài 2 (2,0 điểm)

Cách giải:

a) Giải hệ phương trình $$.

Vậy hệ phương trình có nghiệm $$.

b) Giải phương trình $$.

Đặt $$. Khi đó phương trình trở thành

Với $$.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm $$.

Bài 3 (1,5 điểm)

Cho hai hàm số $$ và $$.

Cách giải:

a) Vẽ đồ thị các hàm số này trên cùng một phẳng tọa độ.

Ta có bảng giá trị của hàm số $$

Vẽ đường cong đi qua các điểm có tọa độ $$ ta được parabol $$

Bảng giá trị của hàm số $$

Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm có tọa độ $$ ta được đường thẳng $$

Đồ thị hàm số:

b) Tìm tọa độ hai giao điểm A và B của hai đồ thị đó. Tính khoảng cách từ điểm $$ đến đường thẳng $$.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $$ và parabol $$

Vậy giao điểm của $$ và $$ là $$.

* Tính khoảng cách từ $$ đến đường thẳng $$

Kẻ $$. Nhận xét thấy khoảng cách từ $$ xuống đường thẳng $$ chính là $$.

Gọi $$

Lại thấy $$ Phương trình đường thẳng $$ là $$  hay $$ suy ra tam giác $$ vuông tại $$.

Ta lại có $$

Xét tam giác $$ vuông tại $$ có $$ là đường cao nên

Vậy khoảng cách cần tìm là $$

Bài 4 (1 điểm)

Phương pháp:

+) Phương trình có hai nghiệm $$

+) Áp dụng định lý Vi-et và hệ thức bài cho để làm bài. Tìm được $$, đối chiếu với điều kiện xác định rồi kết luận.

Cách giải:

Cho phương trình $$ với $$ là tham số. Tìm tất cả các giá trị của $$ để phương trình đã cho có hai nghiệm $$ thỏa mãn hệ thức: $$

Phương trình đã cho có hai nghiệm $$

$$ Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm $$ với mọi $$

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:$$

Theo đề bài ta có: $$.

Thay vào $$ ta có:

Mặt khác $$.

Vậy $$ thỏa mãn điều kiện bài toán.

Bài 5 (1,0 điểm)

Cách giải:

Gọi chiều rộng của mảnh đất là $$ (mét) $$.

      chiều dài của mảnh đất là $$ (mét) $$.

Diện tích mảnh đất là $$ nên ta có phương trình $$(1)

Nếu giảm chiều rộng đi $$ thì chiều rộng mới là $$ (m).

Nếu tăng chiều dài lên $$ thì chiều dài mới là $$ (m).

Diện tích mảnh đất mới là $$ nên ta có phương trình $$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Vậy chiều dài mảnh đất là $$ và chiều rộng mảnh đất là $$.

Bài 6 (3,0 điểm)

Cách giải:

a) Chứng minh tứ giác $$ là tứ giác nội tiếp.

Ta có: $$ ($$ tại $$) $$.

          $$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính $$) $$.

Xét tứ giác $$ có $$, mà hai góc ở vị trí đối diện nên tứ giác $$ nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng $$) (đpcm).

b) Chứng minh $$ song song với $$ và ba điểm $$ thẳng hàng.

Có $$ (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

Lại có $$ nên tứ giác $$ là hình bình hành $$  (đpcm).

Lại có: $$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính $$) $$ (1)

Mà $$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính $$) $$ (2)

Từ $$ và $$ suy ra $$ (từ vuông góc đến song song).

Mà $$ nên theo tiên đề Ơclit suy ra ba điểm $$ thẳng hàng.

c) Đường thẳng qua $$ vuông góc với $$ cắt đường tròn $$ tại hai điểm $$ và $$ (với $$ thuộc cung nhỏ $$). Chứn mginh $$.

Kẻ đường kính $$ cửa đường tròn $$. Nối $$ với $$ cắt $$ tại $$. Nối $$ với $$, $$ với $$.

Có $$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $$.

Mà $$ nên $$ (từ vuông góc đến song song) $$ là hình thang.

Lại có $$ $$ là trung điểm của $$ (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung) $$ là điểm chính giữa cung $$.

$$ số đo cung $$ bằng số đo cung $$.

Dễ thấy, tam giác $$ cân tại $$ (đường cao $$ cũng là đường trung tuyến)

$$ $$ số đo cung $$ bằng số đo cung $$.

$$ (hai dây căng hai cung bằng nhau thì bằng nhau).

Do đó $$ (do tam giác $$ vuông tại $$). Mà $$ (= đường kính).

Vậy $$ (đpcm).