2. Đề thi vào 10 môn Toán Đà Nẵng năm 2020

Bài 1:

a) Tính giá trị của biểu thức $$

b) Cho biểu thức $$ với $$ và $$. Rút gọn biểu thức $$ và tìm $$ để $$

Bài 2:

Cho hàm số $$.

a) Vẽ đồ thị $$ của hàm số đã cho.

b) Đường thẳng $$ cắt đồ thị $$ tại hai điểm phân biệt $$ và $$, trong đó điểm $$ có hoành độ dương. Gọi $$ là chân đường cao hạ từ $$ của tam giác $$, với $$ là gốc tọa độ. Tính diện tích tam giác $$ (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét).

Bài 3:

a) Giải phương trình $$

b) Biết phương trình $$ có hai nghiệm là $$ và $$ không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức: $$

Bài 4:

a) Một số tự nhiên nhỏ hơn bình phương của nó 20 đơn vị. Tìm số tự nhiên đó.

b) Quãng đường AB gồm một đoạn lên dốc và một đoạn xuống dốc. Một người đi xe đạp từ A đến B hết 16 phút và đi từ B về A hết 14 phút. Biết vận tốc lúc lên dốc là 10km/h, vận tốc lúc xuống dốc là 15km/h (vận tốc lên dốc, xuống dốc lúc đi và về như nhau). Tính quãng đường AB.

Bài 5:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O đường kính AB. Trên cung nhỏ $$ của đường tròn $$ lấy điểm $$ (không trùng với $$ và $$). Gọi $$ là chân đường vuông góc kẻ từ $$ đến $$ và $$ là giao điểm của $$ với $$.

a) Chứng minh rằng tứ giác $$ là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh rằng $$.

c) Đường thẳng qua $$ song song với $$, cắt $$ tại $$. Chứng minh rằng $$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $$ đi qua trung điểm của đoạn $$.

Bài 1. (1,0 điểm)

Cách giải:

a) Tính giá trị của biểu thức $$

Vậy $$.

b) Cho biểu thức $$ với $$ và $$. Rút gọn biểu thức $$ và tìm $$ để $$

Với $$ và $$ ta có:

Vậy với $$ thì $$.

Để $$ thì $$.

Vậy để $$ thì $$.

Bài 2. (1,5 điểm)

Cách giải:

Cho hàm số $$.

a) Vẽ đồ thị $$ của hàm số đã cho.

Ta có bảng giá trị:

Vậy đồ thị hàm số $$ là đường cong nhận trục tung làm trục đối xứng và đi qua các điểm $$

Đồ thị hàm số:

b) Đường thẳng $$ cắt đồ thị $$ tại hai điểm phân biệt $$ và $$, trong đó điểm $$ có hoành độ dương. Gọi $$ là chân đường cao hạ từ $$ của tam giác $$, với $$ là gốc tọa độ. Tính diện tích tam giác $$ (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét).

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $$ và đường thẳng $$ ta có:

+) Với $$.

+) Với $$  (Vì $$ là điểm có hoành độ dương).

Gọi $$ là giao điểm của đường thẳng $$ với trục tung $$

Ta có: $$ cân tại $$, có $$, $$.

Áp dụng định lý Pi-ta-go cho $$ vuông tại $$ ta có:

Lại có: $$$$

Áp dụng định lý Pitago cho $$ vuông tại $$ ta có:

Vậy diện tích tam giác $$ là $$

Bài 3. (1,5 điểm)

Cách giải:

a) Giải phương trình $$

Phương trình có: $$

$$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt: $$  

Vậy phương trình đã cho tập nghiệm: $$

b) Biết phương trình $$ có hai nghiệm là $$ và $$ không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức: $$

Xét phương trình: $$  có $$  $$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt$$

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $$

Ta có: $$ là hai nghiệm của phương trình đã cho $$

Theo đề bài ta có:

Bài 4. (2,0 điểm)

Cách giải:

a) Một số tự nhiên nhỏ hơn bình phương của nó 20 đơn vị. Tìm số tự nhiên đó.

Gọi số tự nhiên cần tìm là $$ (ĐK: $$).

Bình phương của số tự nhiên $$ là $$.

Vì số tự nhiên cần tìm nhỏ hơn bình phương của nó 20 đơn vị nên ta có phương trình:

Vậy số tự nhiên cần tìm là 5.

b) Quãng đường AB gồm một đoạn lên dốc và một đoạn xuống dốc. Một người đi xe đạp từ A đến B hết 16 phút và đi từ B về A hết 14 phút. Biết vận tốc lúc lên dốc là 10km/h, vận tốc lúc xuống dốc là 15km/h (vận tốc lên dốc, xuống dốc lúc đi và về như nhau). Tính quãng đường AB.

Gọi quãng đường lên dốc lúc đi là $$ (km), quãng đường xuống dốc lúc đi là $$ (km) (ĐK: $$)

$$ Quãng đường lên dốc lúc về là $$ (km), quãng đường xuống dốc lúc về là $$ (km).

Thời gian lúc đi là 16 phút $$(h) nên ta có phương trình:

$$.

Thời gian lúc về là 14 phút $$(h) nên ta có phương trình:

$$.

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$$ Quãng đường lên dốc lúc đi là $$, quãng đường xuống dốc lúc đi là $$.

Vậy độ dài quãng đường AB là $$.

Bài 5. (2,0 điểm)

Cách giải:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O đường kính AB. Trên cung nhỏ $$ của đường tròn $$ lấy điểm $$ (không trùng với $$ và $$). Gọi $$ là chân đường vuông góc kẻ từ $$ đến $$ và $$ là giao điểm của $$ với $$.

a) Chứng minh rằng tứ giác $$ là tứ giác nội tiếp.

Vì $$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $$ nên $$ hay $$.

Lại có $$ (gt) nên $$.

Xét tứ giác $$ có: $$.

$$ là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng $$).

b) Chứng minh rằng $$.

Vì $$ là tứ giác nội tiếp đường tròn $$ nên $$ (1) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $$).

Ta lại có:

$$ (do tam giác $$ có $$ - góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

$$ (do tam giác $$ vuông tại $$).

$$  (2) (cùng phụ với $$).

Từ (1) và (2) $$ $$ hay $$.

Xét $$ và $$ có:

$$ chung;

$$.

Xét tam giác $$ vuông tại $$, đường cao $$ ta có:

$$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

Từ (*) và (2*) suy ra $$.

Lại có $$ vuông tại $$ nên $$ (định lí Pytago).

Vậy $$  (đpcm).

c) Đường thẳng qua $$ song song với $$, cắt $$ tại $$. Chứng minh rằng $$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $$ đi qua trung điểm của đoạn $$.

*) Vì $$ nên $$ (đồng vị).

Mà $$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $$).

$$.

$$ Tứ giác $$ là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).

$$ (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp).

Ta lại có:

$$ (từ vuông góc đến song song) $$.

$$.

*) Gọi $$ là giao điểm của $$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $$.

Ta có:

$$ (cùng phụ với $$).

Mà $$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $$).

$$ $$.

Mà $$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $$).

Ta có: tứ giác $$ nội tiếp (cmt) nên $$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $$).

Ta lại có:

Mà $$ nên $$ $$  (4) 

Lại có: $$ (=bán kính) nên $$ cân tại $$, do đó $$ (5).

Từ (3), (4), (5) suy ra $$ $$ cân tại $$ (định nghĩa) $$  (3*) (tính chất tam giác cân).

Ta có:

$$ (do tam giác $$ vuông tại $$).

$$ cân tại $$ (định nghĩa) $$ (4*) (tính chất tam giác cân).

Từ (3*) và (4*) suy ra $$.

Vậy $$ là trung điểm của $$ (đpcm).