1. Đề kiểm tra giữa kì II Toán 9 - Đề số 5

Đề bài

Câu 1 (2,0 điểm): Cho biểu thức $$

và $$ với $$

1) Tính giá trị của $$ khi $$.

2) Rút gọn biểu thức $$.

3) Cho $$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $$.

Câu 2 (2,0 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Hai công nhân làm chung trong $$ ngày thì hoàn thành công việc đã định. Họ làm chung với nhau $$ ngày thì người thứ nhất được điều đi làm việc khác, người thứ hai làm công việc còn lại trong $$ ngày. Hỏi người thứ nhất làm một mình thì sau bao lâu thì hoàn thành công việc?

Câu 3 (2,0 điểm):

1) Giải hệ phương trình:

2) Cho hàm số $$ và $$; $$ cắt $$ tại hai điểm $$, $$ với $$ là điểm có hoành độ nhỏ hơn.

a) Tìm tọa độ điểm $$ và $$.

b) Tính diện tích $$ với $$ là gốc tọa độ.

Câu 4 (3,5 điểm): Cho đường thẳng $$ và đường tròn $$ không có điểm chung. Kẻ $$ tại $$. Điểm $$ thuộc $$ và không trùng với điểm $$. Qua $$ kẻ hai tiếp tuyến $$ tới $$ ($$ và $$ là tiếp điểm). $$ cắt $$, $$ lần lượt tại $$ và $$. Đoạn thẳng $$ cắt $$ tại $$.

1) Chứng minh bốn điểm $$ thuộc cùng một đường tròn.

2) Chứng minh $$.

3) Chứng minh $$ là tâm đường tròn nội tiếp $$.

4) Chứng minh rằng khi điểm $$ di động trên đường thẳng $$ thì đường thẳng $$ luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 5 (0,5 điểm): Cho $$ và $$.

Tính giá trị nhỏ nhất của $$.

Lời giải chi tiết

Câu 1 (VD)

Phương pháp:

1) Thay $$ vào $$ để tính giá trị biểu thức.

2) Quy đồng mẫu các phân thức sau đó biến đổi và rút gọn biểu thức $$.

3) Rút gọn $$ và áp dụng bất đẳng thức Co-si để chứng minh $$ (Với $$ là hằng số)

Cách giải:

Biểu thức $$ và

$$ với $$

1) Tính giá trị của $$ khi $$.

$$    ĐKXĐ: $$, $$

Thay $$$$ vào biểu thức $$ ta được:

Vậy $$ khi $$.

2) Rút gọn biểu thức $$.

$$      ĐKXĐ: $$

Vậy $$.

3) Cho $$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $$.

ĐKXĐ: $$

Với mọi $$ có $$.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với hai số dương $$ và $$ ta có:

Dấu “$$” xảy ra khi và chỉ khi $$

Vậy $$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $$ tại $$.

Câu 2 (VD)

Phương pháp:

Giải bài toán bằng cách lập phương trình:

+) Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

+) Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn vừa gọi và các đại lượng đã biết.

+) Dựa vào dữ kiện bài toán để lập hệ phương trình.

+) Giải hệ phương trình vừa lập sau đó đối chiếu với điều kiện đề bài và kết luận.

Cách giải:

Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình hoàn thành công việc là $$ (ngày); $$

Thời gian người thứ hai làm một mình hoàn thành công việc là $$ (ngày); $$

Trong $$ ngày người thứ nhất làm được $$ công việc.

Trong $$ ngày người thứ hai làm được $$ công việc.

Hai công nhân làm chung trong $$ ngày thì hoàn thành công việc nên trong $$ ngày hai công nhân làm được $$ công việc.

Khi đó, ta có phương trình : $$          $$

Trong $$ ngày, cả hai người làm được $$ công việc.

Trong $$ ngày, người thứ hai làm được $$ công việc.

Vì hai công nhân làm chung với nhau $$ ngày thì người thứ nhất được điều đi làm việc khác, người thứ hai làm hoàn thành công việc còn lại trong $$ ngày nên ta có phương trình :   $$          $$

Từ $$ và $$ ta có hệ phương trình :

Vậy người thứ nhất làm một mình trong $$ ngày thì hoàn thành công việc.

Câu 3 (VD)

Phương pháp:

1) Tìm điều kiện xác định. Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

2) Xét phương trình hoành độ giao điểm để tìm tọa độ của $$ và $$. Diện tính $$ được tính bằng cách lấy diện tích hình lớn trừ đi diện tích các hình còn lại.

Cách giải:

1) Giải hệ phương trình: $$

$$        ĐKXĐ: $$

Đặt $$.

Khi đó, ta có hệ phương trình:  

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $$.

2) Cho hàm số $$ và $$; $$ cắt $$ tại hai điểm $$, $$ với $$ là điểm có hoành độ nhỏ hơn.

a) Tìm tọa độ điểm $$ và $$.

Gọi $$ là giao điểm của $$ và $$ $$.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $$ và $$ ta có:

Vì $$ nên $$.

+) $$$$$$

+) $$$$$$

Vậy $$.

b) Tính diện tích $$ với $$ là gốc tọa độ.

Biểu diễn $$ trên mặt phẳng tọa độ $$.

Ta có: $$ (đvdt)

           $$ (đvdt)

           $$ (đvdt)

$$$$  (đvdt)

Vậy diện tích tam giác $$bằng 1 (đvdt).

Câu 4 (VD)

Phương pháp:

a) Chứng minh tứ giác $$ nội tiếp đường tròn dựa vào dấu hiệu nhận biết. Từ đó, suy ra cả bốn điểm $$ nằm trên cùng một đường tròn.

b) Chứng minh hai tam giác đồng dạng.

c) Chứng minh $$ là giao điểm của hai đường phân giác trong $$.

d) Biểu diễn $$ theo các đoạn thẳng có độ dài không đổi suy ra $$ cố định.

Cách giải:

1) Chứng minh bốn điểm $$ thuộc cùng một đường tròn.

Xét $$ ta có: $$ tại $$ (vì $$ là tiếp tuyến của $$ với $$ là tiếp điểm)

$$ tại $$ (vì $$ là tiếp tuyến của $$ với $$ là tiếp điểm)

Xét tứ giác $$ có: $$$$

$$ Tứ giác $$ nội tiếp đường tròn (tứ giác có tổng hai góc đối nhau bằng $$)

$$ Bốn điểm $$ thuộc cùng một đường tròn (định nghĩa tứ giác nội tiếp)

2) Chứng minh $$.

Xét đường tròn $$ có:

$$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$$ ($$ và $$ thuộc $$)

$$ là đường trung trực của $$ (định lí đường trung trực)

$$ tại $$

Xét $$ và $$ ta có:

$$ (tỷ lệ cặp cạnh tương ứng)

$$ (đpcm)

3) Chứng minh $$ là tâm đường tròn nội tiếp $$.

$$ là tiếp tuyến của đường tròn $$

$$ là tia phân giác của $$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) 

$$ là tia phân giác của $$ (vì $$)   $$

$$Vì $$ là đường trung trực của $$ mà

$$ $$ (định lí đường trung trực)

 (liên hệ giữa cung và dây)

Ta có:

$$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

$$ (góc nội tiếp bị chắn bởi cung $$)

Mà  

$$ là tia phân giác của $$  $$

Từ $$ và $$ suy ra $$ là giao điểm của hai đường phân giác trong của $$

$$ $$ là tâm đường tròn nội tiếp $$ (đpcm).

4) Chứng minh rằng khi điểm $$ di động trên đường thẳng $$ thì đường thẳng $$ luôn đi qua một điểm cố định.

Xét $$ vuông tại $$ có $$.

$$ (hệ thức về cạnh và đường cao)

Theo câu a) ta có: $$

Vì $$ không đổi nên $$ không đổi $$ $$ cố định.

$$ Khi điểm $$ di động trên đường thẳng $$ thì đường thẳng $$ luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 5 (VDC)

Phương pháp:

Quy đồng, biến đổi biểu thức $$ về dạng $$ và áp dụng $$.

Cách giải:

Cho $$ và $$. Tính giá trị nhỏ nhất của $$.

Với mọi $$ và $$ ta có:

Ta có: $$

Dấu “$$” xảy ra khi và chỉ khi $$$$

Vậy $$$$.