2. Đề kiểm tra giữa kì II Toán 9 - Đề số 4

Đề bài

Câu 1 (2,5 điểm): Cho parabol $$ và đường thẳng $$

a) Vẽ parabol $$ và đường thẳng $$ trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của $$ và $$.

Câu 2 (2,5 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình:

Hai tổ sản xuất cùng nhận chung được một đơn hàng, nếu hai tổ cùng làm thì sau $$ ngày sẽ xong. Tuy nhiên, sau khi cùng làm được $$ ngày thì tổ I có việc bận phải chuyển công việc khác, do đổ tổ II làm một mình $$ ngày nữa thì hoàn thành đơn hàng. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi tổ làm xong trong bao nhiều ngày?

Câu 3 (4,0 điểm): Cho $$, $$ là dây không đi qua tâm. $$ là hai điểm bất kì thuộc dây $$ ($$ không trùng với $$). $$ là điểm chính giữa của cung nhỏ $$. Các đường thẳng $$ và $$ lần lượt cắt $$ tại điểm thứ hai là $$.

a) Chứng minh $$ và tứ giác $$ nội tiếp.

b) Chứng minh $$.

c) Kẻ đường kính $$. Gọi $$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $$. Chứng minh $$ thẳng hàng.

Câu 4 (1,0 điểm): Với $$ là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức $$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 $$.

Lời giải chi tiết

Câu 1 (VD)

Phương pháp:

a) Lập bảng giá trị sau đó biểu diễn $$ và $$ trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của $$ và $$ tìm được $$, từ đó tìm được $$.

Cách giải:

Cho parabol $$ và đường thẳng $$

a) Vẽ parabol $$ và đường thẳng $$ trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

*) Vẽ parabol $$

Ta có bảng giá trị:

$$ là đường cong Parabol đi qua các điểm có tọa độ$$$$$$$$$$

*) Vẽ đường thẳng $$

Ta có bảng giá trị:

$$ là đường thẳng đi qua các điểm có tọa độ $$

b) Tìm tọa độ giao điểm của $$ và $$.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $$ và $$ ta có:

+) Với $$$$

+) Với $$$$

Vậy $$ cắt $$ tại hai điểm phân biệt $$ và $$.

Câu 2 (VD)

Phương pháp:

Giải bài toán bằng cách lập phương trình:

+) Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

+) Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn vừa gọi và các đại lượng đã biết.

+) Dựa vào dữ kiện bài toán để lập phương trình.

+) Giải phương trình vừa lập sau đó đối chiếu với điều kiện đề bài và kết luận

Cách giải:

Gọi thời gian để tổ I làm một mình hoàn thành xong đơn hàng là $$ (ngày); $$

Gọi thời gian để tổ II làm một mình hoàn thành xong đơn hàng là $$(ngày); $$

Trong một ngày, tổ I làm được $$ đơn hàng.

Trong một ngày, tổ II làm được $$ đơn hàng.

Vì hai tổ cùng làm trong $$ ngày thì hoàn thành xong đơn hàng, nên trong một ngày cả hai tổ làm được $$ đơn hàng. Khi đó, ta có phương trình: $$   $$

Trong $$ ngày, cả hai tổ làm được $$ đơn hàng.

Trong $$ ngày, tổ II làm được $$ đơn hàng.

Vì sau khi cùng làm được $$ ngày thì tổ II làm một mình trong $$ ngày nữa thì hoàn thành xong đơn hàng nên ta có phương trình: $$    $$

Từ $$và $$ta có hệ phương trình:

Vậy thời gian để tổ I làm một mình hoàn thành xong đơn hàng là $$ ngày.

Thời gian để tổ II làm một mình hoàn thành xong đơn hàng là $$ ngày.

Câu 3 (VD)

Phương pháp:

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp bằng cách áp dụng dấu hiệu nhận biết.

b) Chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc.

c) Chứng minh $$ và $$ tại $$. Từ đó suy ra ba điểm $$ thẳng hàng.

Cách giải:

Cho $$, $$ là dây không đi qua tâm. $$ là hai điểm bất kì thuộc dây $$ ($$ không trùng với $$). $$ là điểm chính giữa của cung nhỏ $$. Các đường thẳng $$ và $$ lần lượt cắt $$ tại điểm thứ hai là $$.

a) Chứng minh $$ và tứ giác $$ nội tiếp.

Xét đường tròn $$ có:

 (góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn)

  (góc nội tiếp )

Vì $$ là điểm chính giữa của cung nhỏ $$ nên (liên hệ giữa cung và dây)

$$ (đpcm)

Theo chứng minh trên, ta có: $$

$$ Tứ giác $$ nội tiếp (Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó)

b) Chứng minh $$.

Xét đường tròn $$, ta có:

 (góc nội tiếp bị chắn bởi cung $$)

 (góc nội tiếp bị chắn bởi cung $$)

Ta lại có:  (chứng minh trên) suy ra $$.

Xét $$ và $$ ta có:

$$ chung

$$ (chứng minh trên)

$$ (góc – góc)

$$ (tỷ lệ cặp cạnh tương ứng)

$$(đpcm)

c) Kẻ đường kính $$. Gọi $$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $$. Chứng minh $$ thẳng hàng.

Xét đường tròn $$ ta có:

+) $$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)$$ tại $$.

+) $$ (góc nội tiếp bị chắn bởi hai cung bằng nhau  và ).

Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác $$ ta có:

+)  (góc ở tâm)

 (góc nội tiếp bị chắn bởi cung $$)

+) $$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $$$$(=bán kính)

Vì $$ cân tại $$$$ (tính chất)

Áp dụng định lý tổng ba góc trong tam giác $$ ta có:

$$     (vì $$)

$$  (vì$$)

$$  (vì $$)

$$ tại $$

Mà $$ tại $$ (chứng minh trên)

 $$ Ba điểm $$ thẳng hàng (đpcm)

Câu 4 (VDC)

Phương pháp:

Thay $$ vào biểu thức $$ sau đó phân tích thành nhân tử.

Làm tương tự đối với $$, $$. Sau đó, áp dụng bất đẳng thức Cô-si.

Cách giải:

Với $$ là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức $$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Vì $$ là các số thực dương nên ta có:

Khi đó, ta có:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được:

Dấu “$$” xảy ra khi và chỉ khi

$$ $$.

Vậy $$.