Đề số 1 – Đề kiểm tra học kì 2 – Toán 8

Câu 1 (2,5 điểm): Cho các biểu thức $$ và $$

a) Tìm điều kiện xác định của $$ và rút gọn biểu thức $$.

b) Cho $$ khi đó hãy tính giá trị của $$

c) Đặt $$ Tìm các giá trị của $$ để $$

Câu 2 (2,0 điểm): Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:

Một xe máy và một ô tô cùng khởi hành từ tỉnh A đi đến tỉnh B. Xe máy đi với vận tốc 30km/h, ô tô đi với vận tốc 40km/h. Sau khi đi được nửa quãng đường AB, ô tô tăng vận tốc thêm 5km/h trên quãng đường còn lại, do đó nó đến tỉnh B sớm hơn xe máy 1 giờ 10 phút. Tính độ dài quãng đường AB.

Câu 3 (1,5 điểm): Giải các phương trình sau:

a) $$

b) $$

c) $$

Câu 4 (3,5 điểm): Cho hình chữ nhật $$ có $$ Kẻ $$ vuông góc với $$ tại $$  vuông góc với $$ tại $$

a) Chứng minh $$ đồng dạng với $$ và suy ra $$

b) Tính độ dài các đoạn thẳng $$

c) Gọi $$ là điểm đối xứng với $$ qua $$ Chứng minh $$ và $$ là hình thang cân.

d) Gọi $$ lần lượt là trung điểm của $$ và $$ là giao điểm của $$ với $$  

Chứng minh $$

Câu 5 (0,5 điểm): Tìm $$ để hai bất phương trình sau có cùng tập nghiệm:

$$ và $$.

Phương pháp giải:

a) Tìm điều kiện xác định mẫu số khác 0 và quy đồng rút gọn.

b) Với $$ ta tìm $$ rồi thay vào $$

c) Sử dụng định nghĩa $$ để chứng tỏ $$ và giải bất phương trình $$.

Lời giải chi tiết:

Cho các biểu thức $$ và $$

a) Tìm điều kiện xác định của $$ và rút gọn biểu thức $$.

Điều kiện xác định: $$

b) Cho $$ khi đó hãy tính giá trị của $$

Điều kiện xác định: $$

Theo câu a) ta có: $$

Ta có:

Thay $$ vào $$ ta được:

c) Đặt $$ Tìm các giá trị của $$ để $$

Điều kiện xác định: $$

Vì $$$$$$

Kết hợp điều kiện $$ $$

Vậy $$

Phương pháp giải:

Gọi quãng đường AB dài $$

Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn vừa gọi và các đại lượng đã biết.

Từ đó lập phương trình, giải phương trình.

Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

Đổi 1 giờ 10 phút = $$ giờ

Gọi quãng đường AB dài $$

Thời gian xe máy đi hết quãng đường AB là $$ (giờ).

Thời gian ô tô đi nửa đầu quãng đường AB là $$ (giờ)

Thời gian ô tô đi nửa sau quãng đường AB là $$ (giờ)

Do ô tô đến tỉnh B sớm hơn xe máy 1 giờ 10 phút nên ta có phương trình:

Vậy quãng đường AB dài 120km.

Phương pháp giải:

a) Nhân phá ngoặc, đưa phương trình về dạng phương trình bậc nhất một ẩn để giải.

b) Giải phương trình bằng phương pháp đưa về phương trình tích.

c) Tìm điều kiện xác định, quy đồng mẫu thức, khử mẫu.

Lời giải chi tiết:

a) $$$$         

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $$

b) $$       

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $$

c) $$

ĐKXĐ: $$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $$

Phương pháp giải:

a) Chứng minh  $$ qua trường hợp đồng dạng góc – góc.

b) Áp dụng định lý Pytago tính $$  sau đó áp dụng $$ tính $$ rồi tính $$

c) Chứng minh $$

Chứng minh $$ là hình thang và $$$$ là hình thang cân

d) Gọi $$ là trung điểm $$ $$ là hình bình hành $$ mà $$ là trực tâm tam giác $$

Suy ra $$ vuông tại $$.

Gọi $$ mà $$$$

Lời giải chi tiết:

a) Chứng minh $$ đồng dạng với $$ và suy ra $$

Xét $$ và $$ có:

b) Tính độ dài các đoạn thẳng $$

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông $$vuông tại $$ có:

Theo câu b) ta có: $$$$

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông $$ vuông tại $$ có:

Từ đó $$

c) Gọi $$ là điểm đối xứng với $$ qua $$ Chứng minh $$ và $$ là hình thang cân.

Vì $$ là điểm đối xứng với $$ qua $$ nên $$ là đường trung trực của $$

Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB//CD$$

Xét $$ và $$ có:

$$ (hai cạnh tương ứng)

 Mà $$ (cmt) $$

Ta có: $$

Mà $$ là hình bình hành (dhnb).

$$ là hình thang  (1)

Xét $$ và $$ có:

$$ cạnh chung

$$ (do $$)

$$ (cmt)

Nên $$

Mà $$ (do ABCD là hình chữ nhật)

Xét $$ và $$ có:

$$  (2)

Từ (1), (2) $$ là hình thang cân. (đpcm)

d) Gọi $$ lần lượt là trung điểm của $$ và $$ là giao điểm của $$ với $$ 

Chứng minh $$

Gọi $$ là trung điểm $$ là đường trung bình của $$ $$

Mà $$$$$$ là hình bình hành (dhnb).

$$ (1) 

Ta có: $$

Lại có: $$ là trực tâm tam giác $$ $$ (2)

Từ (1), (2) $$$$ vuông tại $$.

Gọi $$ mà $$

Phương pháp giải:

Tìm nghiệm của bất phương trình $$, chia trường hợp giải bất phương trình $$ cho nghiệm theo m và cho 2 tập nghiệm bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Tìm $$ để hai bất phương trình sau có cùng tập nghiệm: $$ và $$.

Vì  $$$$ $$ với mọi $$

Lại có:

TH1: $$ (vô lý)

TH2: $$

Để hai bất phương trình đã cho có cùng tập nghiệm $$ thì $$$$ và $$

Vậy với $$ thì hai bất phương trình có cùng tập nghiệm.

Nguồn sưu tầm