Đề số 2 – Đề kiểm tra học kì 2 – Toán 8

Câu 1 (VD) (3,5 điểm). Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) $$

b) $$

c) $$

d) $$

Câu 2 (VD) (2,0 điểm). Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Một xe máy khởi hành từ A để đi đến B với vận tốc 30 km/h. Sau khi xe máy đi được 20 phút, trên cùng tuyến đường đó, một ô tô khởi hành từ B để đi đến A với vận tốc 45 km/h, biết quãng đường AB dài 90 km. Hỏi sau bao lâu kể từ lúc ô tô khởi hành thì hai xe gặp nhau?

Câu 3 (VD) (1,0 điểm).

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có $$.

a) Tính diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật

b) Tính độ dài đường chéo AC’ của hình hộp chữ nhật (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

Câu 4 (VD) (3,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

a) Chứng minh $$ đồng dạng với $$.

b) Cho $$. Tính độ dài đoạn AB.

c) Gọi E là điểm tùy ý trên cạnh AB, đường thẳng qua H và vuông góc với HE cắt cạnh AC tại F. Chứng minh $$

d) Tìm vị trí của điểm E trên cạnh AB để tam giác EHF có diện tích nhỏ nhất.

Câu 5 (VDC) (0,5 điểm). Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số dương và  $$ thì:

Phương pháp giải:

a) Chuyển vế đổi dấu

b) Biến đổi phương trình thành phương trình tích để giải

c) Quy đồng khử mẫu, rút gọn

d) Quy đồng khử mẫu, nhân phá ngoặc, rút gọn BPT

Lời giải chi tiết:

Vậy nghiệm của phương trình là $$                                                     

Vậy nghiệm của phương trình là $$

ĐKXĐ: $$ $$

Vậy nghiệm của phương trình là $$ 

Vậy BPT có tập nghiệm $$

Phương pháp giải:

Gọi thời gian để 2 xe gặp nhau kể từ lúc ô tô khởi hành là x (giờ).

Biết vận tốc của từng xe trên từng quãng đường 

$$ lập phương trình theo tổng quãng đường để tìm x.

Lời giải chi tiết:

Gọi thời gian để 2 xe gặp nhau kể từ lúc ô tô khởi hành là x (giờ) $$

Đổi 20 phút = $$ giờ

Quãng đường xe máy đi được trong 20 phút đầu là $$

Quãng đường xe máy đi từ khi ô tô khởi hành đến khi 2 xe gặp nhau là $$

Quãng đường ô tô đi đến chỗ gặp nhau với xe máy là $$

Vì quãng đường AB dài 90 km nên ta có phương trình: 

$$  (giờ)

Vậy sau $$ giờ = 1 giờ 4 phút kể từ lúc ô tô khởi hành thì hai xe gặp nhau.

Phương pháp giải:

a) Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là tổng diện tích tất cả các mặt của hình hộp chữ nhật đó.

b) Áp dụng định lý Py-ta-go để tính A’C’ từ đó tính AC’.

Lời giải chi tiết:

a) Tính diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật

b) Tính độ dài đường chéo AC’ của hình hộp chữ nhật (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

Áp dụng định lý Py-ta-go cho $$ vuông tại B’  ta có:

Áp dụng định lý Py-ta-go cho $$ vuông tại A’ ta có:

Phương pháp giải:

a) Chứng minh $$

b) Từ a) suy ra công thức để tính AB theo BC và BH

c) Chứng minh $$  từ đó suy ra tỉ lệ các cạnh suy ra đpcm

d) Chứng minh $$  với tỉ số đồng dạng $$.

Từ đó tính $$ theo các đại lượng không đổi $$; AB và đại lượng thay đổi HE $$ vị trí điểm E thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Lời giải chi tiết:

a) Chứng minh $$ đồng dạng với $$.

Ta có tam giác ABC vuông tại A $$

Mặt khác do tam giác ABC có đường cao AH

Xét $$ và $$ có:

b) Cho $$. Tính độ dài đoạn AB.

Ta có $$ $$  (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

c) Gọi E là điểm tùy ý trên cạnh AB, đường thẳng qua H và vuông góc với HE cắt cạnh AC tại F. Chứng minh $$

Ta có $$

$$  (1)

Mặt khác do tam giác ABC có đường cao AH

$$ (tc) $$  (2)

Từ (1) và (2) $$ (cùng phụ với $$)

Xét $$ và $$ có:

$$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

d) Tìm vị trí của điểm E trên cạnh AB để tam giác EHF có diện tích nhỏ nhất.

Ta có tam giác ABC vuông tại A $$

Lại có tam giác ABH vuông tại H $$

$$  (cùng phụ với $$)

Xét $$ và $$ có:

$$ (AH là đường cao của tam giác ABC)

$$ (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Mà   $$$$ $$

Xét $$ và $$ có:

$$  với tỉ số đồng dạng $$

Mà $$ và AB không đổi nên để $$ nhỏ nhất $$ nhỏ nhất $$

Vậy với E là chân đường vuông góc kẻ từ H xuống AB thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Phương pháp giải:

Chứng minh với 3 số $$ ta có $$

Đặt $$$$. Áp dụng chứng minh trên và giả thiết đề bài để suy ra đpcm.

Lời giải chi tiết:

Với 3 số $$, áp dụng BĐT Cô-si ta có: $$ $$

Cộng từng vế của BĐT trên với $$

Đặt $$ ta có:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có:

Vậy $$ (đpcm)

Nguồn sưu tầm