Đề thi học kì 2 môn toán lớp 8 năm 2019 - 2020 trường THCS Nghĩa Tân

Bài 1  (2,0 điểm):

Cho hai biểu thức: $$  và $$  với $$

a) Tính giá trị của biểu thức A khi $$

b) Chứng minh rằng: $$

c) Cho $$ Tìm tất cả các giá trị của $$ để phương trình $$ có nghiệm duy nhất.

Bài 2 (2,0 điểm):

Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc $$ km/h, sau đó 30 phút, một ôtô cũng xuất phát từ A đến B với vận tốc 60 km/h. Tính độ dài quãng đường AB biết cả 2 xe đến B cùng lúc.

Bài 3 (2,5 điểm):

Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) $$

b) $$

c) $$

d) $$

Bài 4 (3 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A $$, đường cao AH

a) Chứng minh rằng $$. Từ đó suy ra $$

b) Lấy điểm I thuộc AH. Kẻ đường thẳng đi qua B và vuông góc với CI tại K. Chứng minh rằng $$

c) Tia BK cắt tia HA tại D. Chứng minh rằng $$

d) Trên tia đối của tia KC lấy điểm M sao cho $$ Chứng minh rằng $$ . 

Bài 5 (0,5 điểm):

Cho $$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Phương pháp giải:

a) Thay $$  vào biểu thức A rồi tính toán

b) Qui đồng rồi thực hiện cộng trừ các phân thức để rút gọn B

c) Biến đổi về phương trình bậc nhất rồi sử dụng: $$ có nghiệm duy nhất khi $$

Lời giải chi tiết:

Cho hai biểu thức: $$  và $$  với $$

a) Tính giá trị của biểu thức A khi $$

Thay $$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $$ ta được:

Vậy với $$ thì $$

b) Chứng minh rằng: $$

Với $$ ta có:

Vậy $$  với $$

c) Cho $$ Tìm tất cả các giá trị của $$ để phương trình $$ có nghiệm duy nhất.

Với $$ ta có:

Xét phương trình $$

Để phương trình $$ có nghiệm duy nhất thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất khác $$ và khác $$

Vậy với $$ thì phương trình $$ có nghiệm duy nhất.

Phương pháp giải:

Giải bài toán bằng cách lập phương trình 

Bước 1: Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn

Bước 2: Lập phương trình và giải phương trình

Bước 3: Kết hợp điều kiện và kết luận

Lời giải chi tiết:

Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc $$ km/h, sau đó 30 phút, một ôtô cũng xuất phát từ A đến B với vận tốc 60 km/h. Tính độ dài quãng đường AB biết cả 2 xe đến B cùng lúc.

Gọi quãng đường AB là $$ (km) $$

Thời gian xe máy đi từ A đến B là $$ giờ

Thời gian ô tô đi từ A đến B là $$ giờ

Vì ô tô xuất phát muộn hơn xe máy 30 phút $$ giờ nên thời gian xe máy đi từ A đến B sẽ nhiều hơn thời gian ô tô đi từ A đến B là $$ giờ. Ta có phương trình:

$$ (thỏa mãn) 

Vậy quãng đường AB dài 150km.

Phương pháp giải:

a) Đưa về giải phương trình $$ $$

b) Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

B1: Đặt điều kiện và quy đồng mẫu thức

B2: Bỏ mẫu, chuyển vế đưa về giải phương trình $$$$

B3: So sánh điều kiện và kết luận nghiệm 

c) Nhân phá ngoặc rồi đưa về giải bất phương trình bậc nhất 1 ẩn.

d) Chuyển vế, đặt nhân tử chung và đánh giá.

Lời giải chi tiết:

a) $$

Vậy phương trình có tập nghiệm $$

b) $$  Điều kiện: $$

Vậy phương trình có nghiệm $$

c) $$

Tập nghiệm của bất phương trình là $$

d) $$ 

$$ (vì $$ với mọi $$ nên $$ với mọi $$)

Tập nghiệm của bất phương trình là $$

Phương pháp giải:

a) Chứng minh hai tam giác BHA và BAC đồng dạng theo trường hợp góc – góc.

Từ đó suy ra cặp cạnh tương ứng tỉ lệ và suy ra đẳng thức cần chứng minh.

b) Chứng minh $$ theo trường hợp góc – góc.

Từ đó suy ra tỉ số các cặp cạnh tương ứng và đẳng thức cần CM.

c) Chứng minh tỉ số $$ suy ra hai tam giác $$ và $$ đồng dạng theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.

Từ đó suy ra cặp góc tương ứng bằng nhau.

d) Chứng minh đẳng thức $$ từ việc sử dụng kết quả câu a, c và giả thiết BA=BM.

Từ đó suy ra hai tam giác BKM và BMD đồng dạng và suy ra cặp góc tương ứng bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Cho tam giác ABC vuông tại A $$, đường cao AH 

a) Chứng minh rằng $$. Từ đó suy ra $$

Tam giác ABC vuông tại A nên $$.

Ta có: $$.

Xét $$ và $$ có:

$$(cạnh tương ứng)

$$ (đpcm).

b) Lấy điểm I thuộc AH. Kẻ đường thẳng đi qua B và vuông góc với CI tại K. Chứng minh rằng $$

Ta có: $$

$$.

Xét $$ và $$ có:

$$ (cạnh tương ứng)

$$ (đpcm)

c) Tia BK cắt tia HA tại D. Chứng minh rằng $$

Xét $$ và $$ có:

$$ (cạnh tương ứng)

$$.

Xét $$ và $$ có:

$$ (góc tương ứng) (đpcm).

d) Trên tia đối của tia KC lấy điểm M sao cho $$ Chứng minh rằng $$ .

Từ câu a ta có: $$.

Mà $$ nên $$  (1)

Từ câu c ta có: $$ $$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra $$ $$

Xét $$ và $$ có:

$$ (góc tương ứng)

Mà $$ nên $$ (đpcm).
 

Phương pháp giải:

Biến đổi M về làm xuất hiện hằng đẳng thức. 

Sử dụng đánh giá $$ và BĐT Cô – si cho hai số dương $$ là $$.

Lời giải chi tiết:

Cho $$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$

Ta có:

Ta có: $$ với mọi $$.

Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương là $$ và $$ ta có:

Dấu “=” xảy ra khi $$ $$

Vậy GTNN của M là $$ khi $$.

HẾT