Bài 1 trang 43 SGK Giải tích 12

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:

$y{\rm{ }} = {\rm{ }}2{\rm{ }} + {\rm{ }}3x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x^3}$;

Phương pháp giải:

Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.

Bước 2: Khảo sát sự biến thiên:

*) Xét chiều biến thiên của hàm số:

+) Tính đạo hàm.

+) Tìm các điểm ${{x}_{i}}$ mà tại đó đạo hàm có $y'=0$ hoặc đạo hàm không xác định.

+) Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

*) Tìm cực trị: $y\left( {{x}_{i}} \right).$

*) Tìm các giới hạn vô cực, các giới hạn có kết quả là vô cực và tiệm cận của đồ thị hàm số nếu có. ($\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} y$ )

*) Lập bảng biến thiên: Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.

Bước 3: Đồ thị:

+) Giao điểm của đồ thị với trục tung: $x=0\Rightarrow y=....\Rightarrow A\left( 0;\ ..... \right).$

+) Giao điểm của đồ thị với trục hoành: $y=0\Rightarrow x=.....\Rightarrow B\left( ...;0 \right).$

+) Các điểm cực đại, cực tiểu nếu có.

Lời giải chi tiết:

$y=2+3x-{{x}^{3}}.$

1) TXĐ: $D=R.$

2) Sự biến thiên:

+) Chiều biến thiên:

Ta có: $y\text{'}=3-3x^2\Rightarrow y\text{'}=o\iff 3-3x^2=0$

$\iff \left[\begin{array}{c}x=1\\ x=-1\end{array}\right.$

Trên khoảng $\left( -1;\ 1 \right),\ y'>0$ nên hàm số số đồng biến, trên khoảng $\left( -\infty ;-1 \right)$ và $\left( 1;+\infty  \right)$ có $y'<0$ nên hàm số nghịch biến.

+) Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại $x=1;\ \ {{y}_{CD}}=y\left( 1 \right)=4.$ Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1;\ \ {{y}_{CT}}=y\left( -1 \right)=0.$

+) Giới hạn vô cực:

$\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2 + 3x - {x^3}} \right)\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3}.\left( {\frac{2}{{{x^3}}} + \frac{2}{{{x^2}}} - 1} \right) = + \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2 + 3x - {x^3}} \right)\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^3}.\left( {\frac{2}{{{x^3}}} + \frac{2}{{{x^2}}} - 1} \right) = - \infty 
\end{array}$

+) Bảng biến thiên:

+) Đồ thị:

Ta có: $2+3x-x^3=0$$\iff \left[\begin{array}{c}x=2\\ x=-1\end{array}\right.$

Vậy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại 2 điểm $\left( 2;\ 0 \right)$ và $\left( -1;\ 0 \right).$

Ta có: $y''=-6x$; $y''=0 ⇔ x=0$. Với $x=0$ ta có $y=2$. Vậy đồ thị hàm số nhận điểm $I(0;2)$ làm tâm đối xứng.

Nhận thấy, nhánh bên trái vẫn còn thiếu một điểm để vẽ đồ thị, dựa vào tính đối xứng ta chọn điểm của hoành độ $x=-2$ suy ra $y=4$.

$y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}4{x^2} + {\rm{ }}4x$;

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số $y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}4{x^2} + {\rm{ }}4x$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}.$

Sự biến thiên:

Đạo hàm: $y' = 3x^2+ 8x + 4$.

$\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 2\\ x = - \frac{2}{3} \end{array} \right.$

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right)$ và $\left( { - \dfrac{2}{3}; + \infty } \right)$ và nghịch biến trên $\left( { - 2; - \dfrac{2}{3}} \right).$

Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại $x=-2$, giá trị cực đại $y$_cđ = $y(-2) = 0$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-\dfrac{2}{3}$, giá trị cực tiểu $y_{ct}=y\left ( -\dfrac{2}{3} \right )=-\dfrac{32}{27}.$

Giới hạn:

$\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3} + 4{x^2} + 4x} \right)\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3}.\left( {1 + \dfrac{4}{x} + \dfrac{4}{{{x^2}}}} \right) = - \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^3} + 4{x^2} + 4x} \right)\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^3}.\left( {1 + \dfrac{4}{x} + \dfrac{4}{{{x^2}}}} \right) = + \infty
\end{array}$

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số cắt trục $Oy$ tại điểm $(0;0)$, cắt trục $Ox$ tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình: ${x^3} + 4{x^2} + 4x = 0⇔ x=0$ hoặc $x=-2$ nên tọa độ các giao điểm là $(0;0)$ và $(-2;0)$.

Đồ thị hàm số:

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số: $y''=6x+8;$$\Rightarrow y''=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{4}{3}\Rightarrow y=-\dfrac{16}{27}.$

$y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}9x$;

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số $y = x^3 + x^2+ 9x$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}.$

Sự biến thiên:

Đạo hàm: $y' = 3x^2+ 2x + 9$ $=2x^2+(x^2+2x+1)+8$ $=2x^2+(x+1)^2+8 > 0, ∀x.$

Vậy hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$ và không có cực trị.

Giới hạn:

$\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3} + {x^2} + 9x} \right)\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3}.\left( {1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{9}{{{x^2}}}} \right) = - \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^3} + {x^2} + 9x} \right)\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^3}.\left( {1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{9}{{{x^2}}}} \right) = + \infty 
\end{array}$

Bảng biến thiên :

Đồ thị:

Đồ thị hàm số cắt trục $Ox$ tại điểm $(0;0)$, cắt trục $Oy$ tại điểm $(0;0)$.

Tâm đối xứng:

$y''=0 ⇔ 6x+2=0 ⇔$ $x=-\frac{1}{3}.$

Suy ra tọa độ tâm đối xứng là: $I\left ( -\dfrac{1}{3};-\dfrac{79}{27} \right ).$

Đồ thị hàm số đi qua các điểm $(-1;-9)$ và $\left ( \dfrac{1}{2};\dfrac{39}{8} \right ).$

$y{\rm{ }} = {\rm{ }}-2{x^3} + {\rm{ }}5$

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số $y=-2x^3+5$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}.$

Sự biến thiên:

Đạo hàm: $y' = -6x^2≤ 0, ∀x$.

Vậy hàm số luôn nghịch biến trên $\mathbb R$.

Hàm số không có cực trị.

Giới hạn:

$\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3}.\left( { - 2 + \dfrac{5}{{{x^3}}}} \right) = + \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^3}.\left( { - 2 + \dfrac{5}{{{x^3}}}} \right) = - \infty
\end{array}$

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Tính đối xứng: $y''=-12x; y''=0 ⇔ x=0$.

Vậy đồ thị hàm số nhận điểm uốn $I(0;5)$ làm tâm đối xứng.

Đồ thị hàm số cắt trục $Oy$ tại điểm $(0;5)$, đồ thị cắt trục $Ox$ tại điểm $\left( {\sqrt[3]{{\dfrac{5}{2}}};0} \right).$