Bài 1 trang 43 SGK Giải tích 12

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:

$$;

Phương pháp giải:

Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.

Bước 2: Khảo sát sự biến thiên:

*) Xét chiều biến thiên của hàm số:

+) Tính đạo hàm.

+) Tìm các điểm $$ mà tại đó đạo hàm có $$ hoặc đạo hàm không xác định.

+) Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

*) Tìm cực trị: $$

*) Tìm các giới hạn vô cực, các giới hạn có kết quả là vô cực và tiệm cận của đồ thị hàm số nếu có. ($$ )

*) Lập bảng biến thiên: Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.

Bước 3: Đồ thị:

+) Giao điểm của đồ thị với trục tung: $$

+) Giao điểm của đồ thị với trục hoành: $$

+) Các điểm cực đại, cực tiểu nếu có.

Lời giải chi tiết:

1) TXĐ: $$

2) Sự biến thiên:

+) Chiều biến thiên:

Ta có: $$

Trên khoảng $$ nên hàm số số đồng biến, trên khoảng $$ và $$ có $$ nên hàm số nghịch biến.

+) Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại $$ Hàm số đạt cực tiểu tại $$

+) Giới hạn vô cực:

+) Bảng biến thiên:

+) Đồ thị:

Ta có: $$$$

Vậy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại 2 điểm $$ và $$

Ta có: $$; $$. Với $$ ta có $$. Vậy đồ thị hàm số nhận điểm $$ làm tâm đối xứng.

Nhận thấy, nhánh bên trái vẫn còn thiếu một điểm để vẽ đồ thị, dựa vào tính đối xứng ta chọn điểm của hoành độ $$ suy ra $$.

$$;

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số $$

Tập xác định: $$

Sự biến thiên:

Đạo hàm: $$.

Hàm số đồng biến trên các khoảng $$ và $$ và nghịch biến trên $$

Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại $$, giá trị cực đại $$_cđ = $$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $$, giá trị cực tiểu $$

Giới hạn:

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số cắt trục $$ tại điểm $$, cắt trục $$ tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình: $$ hoặc $$ nên tọa độ các giao điểm là $$ và $$.

Đồ thị hàm số:

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số: $$$$

$$;

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số $$

Tập xác định: $$

Sự biến thiên:

Đạo hàm: $$ $$ $$

Vậy hàm số luôn đồng biến trên $$ và không có cực trị.

Giới hạn:

Bảng biến thiên :

Đồ thị:

Đồ thị hàm số cắt trục $$ tại điểm $$, cắt trục $$ tại điểm $$.

Tâm đối xứng:

Suy ra tọa độ tâm đối xứng là: $$

Đồ thị hàm số đi qua các điểm $$ và $$

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số $$

Tập xác định: $$

Sự biến thiên:

Đạo hàm: $$.

Vậy hàm số luôn nghịch biến trên $$.

Hàm số không có cực trị.

Giới hạn:

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Tính đối xứng: $$.

Vậy đồ thị hàm số nhận điểm uốn $$ làm tâm đối xứng.

Đồ thị hàm số cắt trục $$ tại điểm $$, đồ thị cắt trục $$ tại điểm $$