Bài 1. Khái niệm về khối đa diện
Bài 2. Phép đối xứng qua mặt phẳng và sự bằng nhau của các khối đa diện
Bài 3. Phép vị tự và sự đồng dạng của các khối đa diện. Các khối đa diện đều
Bài 4. Thể tích của khối đa diện
Ôn tập chương I - Khối đa diện và thể tích của chúng
Câu hỏi trắc nghiệm chương I - Khối đa diện và thể tích của chúng
Cho bốn điểm A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 1 ; 0), C(0 ; 0 ; 1) và D(-2 ; 1 ; -2).
LG a
Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện.
Phương pháp giải:
Chứng minh \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \) không đồng phẳng hay \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} \ne 0\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} = \left( { - 1;1;0} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;0;1} \right),\cr &\overrightarrow {AD} = \left( { - 3;1; - 2} \right) \cr
& \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] \cr &= \left( {\left| \matrix{
1\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr
0\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
0\,\,\,\, - 1 \hfill \cr
1\,\,\,\,\, - 1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
- 1\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr
- 1\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|} \right) \cr &= \left( { 1;1; 1} \right) \cr
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} \cr &= 1 .(-3)+ 1.1 +1.(-2) = - 4 \ne 0 \cr} \)
Do đó ba vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \) không đồng phẳng. Vậy A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
LG b
Tính góc giữa các đường thẳng chứa các cạnh đối của tứ diện đó.
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính cô sin góc giữa hai véc tơ \(\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có \(\overrightarrow {CD} = \left( { - 2;1; - 3} \right),\overrightarrow {BD} = \left( { - 2;0; - 2} \right),\) \(\overrightarrow {BC} = \left( {0; - 1;1} \right)\).
Gọi \(\alpha ,\beta ,\gamma \) lần lượt là góc tạo bởi các cặp đường thẳng AB và CD, AC và BD, AD và BC thì
\(\eqalign{
& \cos \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right)} \right| \cr &= {{\left| {2 + 1 + 0} \right|} \over {\sqrt 2 .\sqrt {14} }} = {{3\sqrt 7 } \over {14}} \cr
& \cos \beta = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right)} \right|\cr & = {{\left| {2 + 0 - 2} \right|} \over {\sqrt 2 .\sqrt 8 }} = 0 \Rightarrow AC \bot BD \cr
& \cos \gamma = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {BC} } \right)} \right| \cr & = {{\left| {0 - 1 - 2} \right|} \over {\sqrt 2 .\sqrt {14} }} = {{3\sqrt 7 } \over {14}} \cr} \)
LG c
Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A.
Phương pháp giải:
Tính thể tích theo công thức \(V = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|\)
Lời giải chi tiết:
Thể tích tứ diện ABCD là: \(V = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| \) \(= {1 \over 6}\left| { - 4} \right| = {2 \over 3}\)
Gọi \({h_A}\) là đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A.
Ta có:
\(\eqalign{
& V = {1 \over 3}{h_A}.{S_{BCD}} \Rightarrow {h_A} = {{3V} \over {{S_{BCD}}}} \cr
& {S_{BCD}} = {1 \over 2}\left| {\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right]} \right| = \sqrt 3 \cr} \)
Vậy \({h_A} = {{3.{2 \over 3}} \over {\sqrt 3 }} = {{2\sqrt 3 } \over 3}\)
CHƯƠNG 9. QUẦN XÃ SINH VẬT
Bài 23. Thực hành: Phân tích sự chuyển dịch cơ cấu ngành trồng trọt
Bài 18. Đô thị hóa
Câu hỏi tự luyện Địa 12
Bài giảng ôn luyện kiến thức cuối học kì 1 môn Toán lớp 12