Bài 2 trang 109 SGK Hình học 12 Nâng cao

Lựa chọn câu hỏi để xem giải nhanh hơn
LG a
LG b
LG c
LG d

Cho hai điểm \(A\left( {1; - 1; - 2} \right)\,\,;\,\,B\left( {3;1;1} \right)\) và mặt phẳng (P): \(x - 2y + 3z - 5 = 0\).

Lựa chọn câu hỏi để xem giải nhanh hơn
LG a
LG b
LG c
LG d

LG a

Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua mp(P).

Lời giải chi tiết:

+ Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và (d) ⊥ mp(P).

Đường thẳng (d) đi qua A(1, -1, -2) và nhận vectơ pháp tuyến của mp(P) là \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 2;3} \right)\) là vectơ chỉ phương, nên đường thẳng (d) có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 1 - 2t\\z =  - 2 + 3t\end{array} \right.\)

+ Tìm tọa độ giao điểm H của d và mp(P)

Tọa độ của H là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 1 - 2t\\z =  - 2 + 3t\\x - 2y + 3z - 5 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 1 - 2t\\z =  - 2 + 3t\\1 + t - 2\left( { - 1 - 2t} \right) + 3\left( { - 2 + 3t} \right) - 5 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 1 - 2t\\z =  - 2 + 3t\\ - 8 + 14t = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \dfrac{4}{7}\\x = \dfrac{{11}}{7}\\y =  - \dfrac{{15}}{7}\\z =  - \dfrac{2}{7}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow H\left( {\dfrac{{11}}{7}; - \dfrac{{15}}{7}; - \dfrac{2}{7}} \right)\)

+ Vì A và A’ đối xứng với nhau qua mp(P) nên H chính là trung điểm của AA’, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_{A'}} = 2{x_H}\\{y_A} + {y_{A'}} = 2{y_H}\\{z_A} + {z_{A'}} = 2{z_H}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + {x_{A'}} = \dfrac{{22}}{7}\\ - 1 + {y_{A'}} =  - \dfrac{{30}}{7}\\ - 2 + {z_{A'}} =  - \dfrac{4}{7}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = \dfrac{{15}}{7}\\{y_{A'}} =  - \dfrac{{23}}{7}\\{z_{A'}} = \dfrac{{10}}{7}\end{array} \right.\)

Cách khác:

Điểm \(A'\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đối xứng với A qua mp(P) khi và chỉ khi:

+) \(\overrightarrow {AA'}  = \left( {{x_0} - 1,{y_0} + 1,{z_0} + 2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của (P)

+) Trung điểm \(I\left( {{{{x_0} + 1} \over 2};{{{y_0} - 1} \over 2};{{{z_0} - 2} \over 2}} \right)\) của AA’ nằm trên (P).

\(\left( P \right)\) có VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 2;3} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {AA'} \) cùng phương \(\overrightarrow n \)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{{x_0} - 1}}{1} = \dfrac{{{y_0} + 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{{z_0} + 2}}{3} = t\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1 + t\\{y_0} =  - 1 - 2t\\{z_0} =  - 2 + 3t\end{array} \right.\)

Lại có \(I \in \left( P \right)\) nên \(\dfrac{{{x_0} + 1}}{2} - 2.\dfrac{{{y_0} - 1}}{2} + 3.\dfrac{{{z_0} - 2}}{2} - 5 = 0\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{2 + t}}{2} - \left( { - 2 - 2t} \right) + 3.\dfrac{{ - 4 + 3t}}{2} - 5 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2 + t + 4 + 4t - 12 + 9t - 10 = 0\\ \Leftrightarrow 14t - 16 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{8}{7}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = \dfrac{{15}}{7}\\{y_0} =  - \dfrac{{23}}{7}\\{z_0} = \dfrac{{10}}{7}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(A'\left( {{{15} \over 7}; - {{23} \over 7};{{10} \over 7}} \right)\)

LG b

Tìm góc giữa đường thẳng AB và mp(P).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;2;3} \right)\); mp(P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{(P)}}}  = \left( {1; - 2;3} \right)\).

Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng AB và mp(P) ta có \(0 \le \varphi  \le {90^0}\) và \(\sin \varphi  = {{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{n_{(P)}}} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {AB} .\left| {\overrightarrow {{n_{(P)}}} } \right|} \right|}} = {{\left| {2 - 4 + 9} \right|} \over {\sqrt {17.14} }} = {7 \over {\sqrt {238} }}\).

LG c

Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, B và vuông góc với mp(P).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\overrightarrow {{n_{(Q)}}} \) là vectơ pháp tuyến của mp(Q) thì \(\overrightarrow {{n_{(Q)}}} \) \( \bot \) \(\overrightarrow {AB} \); \(\overrightarrow {{n_{(Q)}}} \) \( \bot \) \(\overrightarrow {{n_{(P)}}} \) nên chọn
\(\overrightarrow {{n_{(Q)}}}    = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{n_{(P)}}}   } \right] = \left( {12; - 3; - 6} \right)\)
Phương trình mặt phẳng (Q) là:
\(12\left( {x - 1} \right) - 3\left( {y + 1} \right) - 6\left( {z + 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 4x - y - 2z - 9 = 0\).

LG d

Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng AB và mp(P). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) nằm trong (P), đi qua I và vuông góc với AB.

Lời giải chi tiết:

Tọa độ của I thỏa mãn hệ phương trình

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr 
y = - 1 + 2t \hfill \cr 
z = - 2 + 3t \hfill \cr 
x - 2y + 3z - 5 = 0 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Rightarrow 1 + 2t - 2\left( { - 1 + 2t} \right) + 3\left( { - 2 + 3t} \right) - 5 = 0\cr & \Rightarrow t = {8 \over 7} \cr} \)

Vậy \(I\left( {{{23} \over 7};{9 \over 7};{{10} \over 7}} \right).\)
Gọi \(\overrightarrow u \) và vectơ chỉ phương của \(\Delta \) thì \(\overrightarrow u \) \( \bot \) \(\overrightarrow {{n_{(P)}}}  \,\); \(\overrightarrow u  \bot \overrightarrow {AB} \) nên chọn

\(\overrightarrow u  = \left[ {\overrightarrow {{n_{(P)}}}   ;\overrightarrow {AB} } \right] \) \(= \left( { - 12;3;6} \right) =  - 3\left( {4; - 1; - 2} \right)\).
Vậy \(\Delta \) có phương trình tham số là 

\(\left\{ \matrix{
x = {{23} \over 7} + 4t \hfill \cr 
y = {9 \over 7} - t \hfill \cr 
z = {{10} \over 7} - 2t \hfill \cr} \right.\)

Fqa.vn
Bình chọn:
0/5 (0 đánh giá)
Bình luận (0)
Bạn cần đăng nhập để bình luận
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn
Location Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.
Tải ứng dụng FQA
Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024
Copyright © 2023 fqa.vn All Rights Reserved
gift-box
survey
survey

Chatbot GPT

timi-livechat
Đặt câu hỏi