Cho điểm M $M$ nằm trong hình tứ diện đều ABCD $A B C D$ . Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ M $M$ tới bốn mặt của hình tứ diện là một số không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. Tổng đó bằng bao nhiêu nếu cạnh của tứ diện đều bằng a?

Lời giải chi tiết

Gọi H1,H2,H3,H4 $H_{1}, H_{2}, H_{3}, H_{4}$ lần lượt là hình chiếu của điểm M trên các mặt phẳng (BCD),(ACD),(ABD),(ABC) $(B C D), (A C D), (A B D), (A B C)$ .
Khi đó MH1,MH2,MH3,MH4 $M H_{1}, M H_{2}, M H_{3}, M H_{4}$ lần lượt là khoảng cách từ điểm M $M$ tới các mặt phẳng đó. Các mặt bên của tứ diện đều có cùng diện tích, ta kí hiệu các diện tích đó là S $S$ và gọi h $h$ là chiều cao của tứ diện đều. Ta có:

VMBCD+VMACD+VMABD+VMABC=VABCD⇔13S.MH1+13S.MH2+13S.MH3+13S.MH4=13S.h⇔13S(MH1+MH2+MH3+MH4)=13Sh⇔MH1+MH2+MH3+MH4=h $\begin{matrix} V_{M B C D} + V_{M A C D} \\ + V_{M A B D} + V_{M A B C} = V_{A B C D} \\ \Leftrightarrow \frac{1}{3} S . M H_{1} + \frac{1}{3} S . M H_{2} \\ + \frac{1}{3} S . M H_{3} + \frac{1}{3} S . M H_{4} = \frac{1}{3} S . h \\ \Leftrightarrow \frac{1}{3} S (M H_{1} + M H_{2} + M H_{3} + M H_{4}) \\ = \frac{1}{3} S h \\ \Leftrightarrow M H_{1} + M H_{2} + M H_{3} + M H_{4} = h \end{matrix}$

Vậy tổng các khoảng cách từ điểm M $M$ tới bốn mặt của tứ diện đều không phụ thuộc vào vị trí của điểm M $M$ nằm trong tứ diện đó.
Nếu tứ diện đều có cạnh bằng a $a$ , ta tính h $h$ .
Gọi H $H$ là trực tâm tam giác đều BCD $B C D$ và M $M$ là trung điểm của CD $C D$ .

Ta có:

$\begin{matrix} h^{2} = A H^{2} = A M^{2} - H M^{2} \\ = {(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2} - {(\frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2} \\ = \frac{3 a^{2}}{4} - \frac{a^{2}}{12} = \frac{2 a^{3}}{3} \\ \Rightarrow h = \frac{a \sqrt{6}}{3} \end{matrix}$

Tổng khoảng cách nói trên bằng $\frac{a \sqrt{6}}{3}$ .

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Chương bài liên quan

Ôn tập chương I - Khối đa diện và thể tích của chúng

Câu hỏi trắc nghiệm chương I - Khối đa diện và thể tích của chúng

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024