Bài 22 trang 28 SGK Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Cho khối lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B’C\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AA’\). Mặt phẳng đi qua \(M, B’, C\) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.

Lời giải chi tiết

Gọi độ dài cạnh đáy của lăng trụ là \(a\), độ dài cạnh bên của lăng trụ là \(b\).
Kẻ đường cao \(CH\) của tam giác \(ABC\).

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}CH \bot AB\\CH \bot AA'\left( {AA' \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow CH \bot \left( {ABB'A'} \right)\)

\( \Rightarrow CH \bot \left( {ABB'M} \right)\).

\( \Rightarrow {V_{C.ABB'M}} = \frac{1}{3}CH.{S_{ABB'M}}\)

+) \(CH = \sqrt {A{C^2} - A{H^2}} \) \( = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

+) Diện tích hình thang \(ABB’M\) là: \({S_{ABB'M}} = {1 \over 2}\left( {AM + BB'} \right)AB\) \( = {1 \over 2}\left( {{b \over 2} + b} \right).a = {{3ab} \over 4}\)

Thể tích khối chóp \(C.ABB’M\) là: \({V_{C.ABB'M}} = {1 \over 3}{S_{ABB'M}}.CH \) \(= {1 \over 3}{{3ab} \over 4}.{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{{a^2}b\sqrt 3 } \over 8}\)

Lại có \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}CH.AB\)\( = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

Vậy thể tích khối lăng trụ là: \({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.AA' \) \(= {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}.b = {{{a^2}b\sqrt 3 } \over 4} \)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow {V_{CC'ABM}} = {V_{ABC.A'B'C'}} - {V_{C.ABB'M}}\\
= \frac{{{a^2}b\sqrt 3 }}{4} - \frac{{{a^2}b\sqrt 3 }}{8} = \frac{{{a^2}b\sqrt 3 }}{8}\\
\Rightarrow \frac{{{V_{C.ABB'M}}}}{{{V_{CC'ABM}}}} = 1
\end{array}\)

Chú ý: Có thể chứng minh được hai khối chóp \(C.ABB’M\) và \(B’A’C’CM\) có cùng chiều cao và có diện tích đáy bằng nhau nên chúng có thể tích bằng nhau.

Cách khác:

Gọi V, S, h lần lượt là thể tích và diện tích đáy, chiều cao của lăng trụ: V= S.h. V₁,V₂ lần lượt là thể tích phần lăng trụ bên trên, bên dưới thiết diện MB’C

E = CM ∩ C'A', do M là trung điểm của AA’ nên A’E = A’C’

S_ΔEA'B'=S_ΔA'B'C' =S

Ta có: