Bài 1. Khái niệm về khối đa diện
Bài 2. Phép đối xứng qua mặt phẳng và sự bằng nhau của các khối đa diện
Bài 3. Phép vị tự và sự đồng dạng của các khối đa diện. Các khối đa diện đều
Bài 4. Thể tích của khối đa diện
Ôn tập chương I - Khối đa diện và thể tích của chúng
Câu hỏi trắc nghiệm chương I - Khối đa diện và thể tích của chúng
Đề bài
Viết phương trình đường thẳng đi qua \(A\left( {1; - 1;1} \right)\) và cắt cả hai đường thẳng sau:
\(d:\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = t \hfill \cr
z = 3 - t \hfill \cr} \right.\) \(d':\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = - 1 - 2t \hfill \cr
z = 2 + t \hfill \cr} \right.\)
Lời giải chi tiết
Lấy điểm \(M\left( {1 + 2t,t,3 - 1} \right)\) nằm trên d và điểm \(M'\left( {t', - 1 - 2t',2 + t'} \right)\) nằm trên d’.
Rõ ràng \(A \notin d\) và \(A \notin d'\). Ta tìm t và t’ sao cho A, M, M’ thẳng hàng, tức \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AM'} \) cùng phương.
Ta có \(\overrightarrow {AM} = \left( {2t,1 + t,2 - t} \right);\) \(\overrightarrow {AM'} = \left( { - 1 + t', - 2t',1 + t'} \right)\).
Do đó:
$$\eqalign{
& \left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AM'} } \right] \cr&= \left( {\left| \matrix{
{1 + t}\,\,\,\,\,{2 - t} \hfill \cr
- 2t'\,\,\,\,\,\,{1 + t'} \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
{2 - t}\,\,\,\,\,\,\,\,\,2t \hfill \cr
{1 + t'}\,\, \,\,{- 1 + t' }\hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
2t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{1 + t} \hfill \cr
{- 1 + t'}\,\,\,\,{ - 2t'} \hfill \cr} \right|} \right) \cr
& = \left( {1 + t + 5t' - tt'; - 2 - t + 2t' - 3tt';1 + t - t' - 5tt'} \right) \cr} $$
Hai vectơ \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AM'} \) cùng phương khi và chỉ khi \(\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AM'} } \right] = \overrightarrow 0 \) hay:
\(\left\{ \matrix{
1 + t + 5t' - tt' = 0 \hfill \cr
- 2 - t + 2t' - 3tt' = 0 \hfill \cr
1 + t - t' - 5tt' = 0 \hfill \cr} \right.\)
Khử số hạng tt’ từ các phương trình trên, ta được hệ
\(\left\{ \matrix{
5 + 4t + 13t' = 0 \hfill \cr
4 + 4t + 26t' = 0 \hfill \cr} \right.\).
Suy ra \(t = - {3 \over 2};t' = {1 \over {13}}\). Khi đó \(\overrightarrow {AM} = \left( { - 3; - {1 \over 2};{7 \over 2}} \right)\).
Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua A và M, \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow {AM} = \left( { - 6; - 1;7} \right)\) nên có phương trình tham số là:
\(\left\{ \matrix{
x = 1 - 6t \hfill \cr
y = - 1 - t \hfill \cr
z = 1 + 7t \hfill \cr} \right.\)
Cách khác:
Gọi Δ là đường thẳng cần tìm, ta có Δ =(P)∩(Q), trong đó (P) chứa A và d và (Q) chứa A và d’.
Đường thẳng d đi qua Mo (1,0,3) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 1} \right)\) nên mp(P) đi qua A(1, -1, 1) và nhận \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {{M_0}A} } \right] = \left( { - 3;4; - 2} \right)\) là vectơ pháp tuyến.
Suy ra mp(P) có phương trình: -3x+4y-2z+9=0
Tương tự mp(Q) có phương trình: x+y+z-1=0
Vậy phương trình của Δ là \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y - 2z + 9 = 0\\x + y + z - 1 = 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 6t\\y = - 1 - t\\z = 1 + 7t\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}\).
Bài giảng ôn luyện kiến thức giữa học kì 1 môn Vật lí lớp 12
Tải 10 đề kiểm tra 15 phút - Chương 5 – Hóa học 12
Chương IV. Dao động và sóng điện từ
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA MÔN NGỮ VĂN
Bài 23. Thực hành: Phân tích sự chuyển dịch cơ cấu ngành trồng trọt