Bài 3 trang 43 SGK Giải tích 12

$\displaystyle {{x + 3} \over {x - 1}}$,

Phương pháp giải:

Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.

Bước 2: Khảo sát sự biến thiên:

*) Xét chiều biến thiên của hàm số:

+) Tính đạo hàm.

+) Tìm các điểm ${{x}_{i}}$ mà tại đó đạo hàm có $y'=0$ hoặc đạo hàm không xác định.

+) Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

*) Tìm cực trị: $y\left( {{x}_{i}} \right).$

*) Tìm các giới hạn vô cực, các giới hạn có kết quả là vô cực và tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có): $\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} y,...$

*) Lập bảng biến thiên: Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.

Bước 3: Đồ thị:

+) Giao điểm của đồ thị với trục tung: $x=0\Rightarrow y=....\Rightarrow A\left( 0;\ ..... \right).$

+) Giao điểm của đồ thị với trục hoành: $y=0\Rightarrow x=.....\Rightarrow B\left( ...;0 \right).$

+) Các điểm cực đại, cực tiểu nếu có.

Lời giải chi tiết:

Tập xác định : $\displaystyle \mathbb R{\rm{\backslash \{ }}1\}$;  

* Sự biến thiên:

Ta có: $\displaystyle y' = {{ - 4} \over {{{(x - 1)}^2}}} < 0,\forall x \ne 1$ ;

- Hàm số nghịch biến trên khoảng: $\displaystyle (-\infty;1)$ và $\displaystyle (1;+\infty)$.

- Cực trị:

 Hàm số không có cực trị.

- Tiệm cận:

$\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ - }}  =  - \infty $, $\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ + }}  =  +\infty$; $\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to  \pm \infty }  = 1$

Do đó, tiệm cận đứng là: $\displaystyle x = 1$; tiệm cận ngang là: $\displaystyle y = 1$.

Bảng biến thiên: 

* Đồ thị:

Đồ thị nhận điểm $\displaystyle I(1;1)$ làm tâm đối xứng.

Đồ thị giao trục tung tại:$\displaystyle (0;-3)$, trục hoành tại $\displaystyle (-3;0)$

$\displaystyle {{1 - 2{\rm{x}}} \over {2{\rm{x}} - 4}}$,

Lời giải chi tiết:

Tập xác định : $\displaystyle \mathbb R \backslash {\rm{\{ }}2\} $;    

* Sự biến thiên:

Ta có: $\displaystyle y' = {6 \over {{{\left( {2{\rm{x}} - 4} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne 2$

- Hàm số đồng biến trên khoảng: $\displaystyle (-\infty;2)$ và $\displaystyle (2;+\infty)$

- Cực trị: 

 Hàm số không có cực trị.

- Tiệm cận:

$\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to {2^ - }}  =  + \infty $, $\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to {2^ + }}  =  - \infty $, $\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to  \pm \infty }  =  - 1$

Do đó, tiệm cận đứng là: $\displaystyle x = 2$; tiệm cận ngang là:$\displaystyle y = -1$.

Bảng biến thiên :

* Đồ thị:

Đồ thị nhận điểm $\displaystyle I(2;-1)$ lầm tâm đối xứng.

Đồ thị giao trục tung tại: $\displaystyle \left( {0; - {1 \over 4}} \right)$, trục hoành tại: $\displaystyle \left( {{1 \over 2};0} \right)$

$\displaystyle {{ - x + 2} \over {2{\rm{x}} + 1}}$

Lời giải chi tiết:

Tập xác định : $\displaystyle R\backslash \left\{ { - {1 \over 2}} \right\}$;

Sự biến thiên:

Ta có: $\displaystyle y' = {{ - 5} \over {{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne  - {1 \over 2}$

- Hàm số nghịch biến trên khoảng: $\displaystyle (-\infty;{-1\over 2})$ và $\displaystyle ({-1\over 2};+\infty)$

- Cực trị:

Hàm số không có cực trị.

- Tiệm cận:

$\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to  - {{{1 \over 2}}^ - }}  =  - \infty $, $\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to  - {{{1 \over 2}}^ + }}  =  + \infty $, $\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to  \pm \infty }  =  - {1 \over 2}$

Do đó, tiệm cận đứng là: $\displaystyle x =  - {1 \over 2}$; tiệm cận ngang là: $\displaystyle y =  - {1 \over 2}$.

Bảng biến thiên :

* Đồ thị    

Đồ thị nhận điểm $\displaystyle I( - {1 \over 2}; - {1 \over 2})$ làm tâm đối xứng.

Đồ thị giao $\displaystyle Ox$ tại: $\displaystyle (2;0)$, $\displaystyle Oy$ tại: $\displaystyle (0;2)$