Bài 32 trang 104 SGK Hình học 12 Nâng cao

Tìm góc giữa d và \(\left( \alpha  \right)\).

Phương pháp giải:

Công thức tính góc giữa đường thẳng và mp: \(\sin \varphi  = {{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow n } \right|}} \)

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2;3;5} \right)\), \(mp\left( \alpha  \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {2;1;1} \right)\).

Gọi \(\varphi \) là góc giữa d và \(\left( \alpha  \right)\) thì \(0 \le \varphi  \le {90^0}\) và

\(\sin \varphi  = {{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow n } \right|}} \) \(= {{\left| {2.2 + 3.1 + 5.1} \right|} \over {\sqrt {4 + 9 + 25} .\sqrt {4 + 1 + 1} }} = {6 \over {\sqrt {57} }}\).

Tìm tọa độ giao điểm của d và \(\left( \alpha  \right)\).

Phương pháp giải:

Viết d dưới dạng tham số rồi xét hệ phương trình tọa độ giao điểm.

Lời giải chi tiết:

d có phương trình tham số

\(\left\{ \matrix{
x = 2 + 2t \hfill \cr 
y = - 1 + 3t \hfill \cr 
z = 1 + 5t \hfill \cr} \right.\).

Thay x, y, z vào phương trình \(\left( \alpha  \right)\) ta có:

\(2\left( {2 + 2t} \right) + \left( { - 1 + 3t} \right) + \left( {1 + 5t} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow t = {1 \over 3}\)

Ta được giao điểm \(M\left( {{8 \over 3};0;{8 \over 3}} \right)\).

Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên \(\left( \alpha  \right)\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\left( \beta  \right)\) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với \(\left( \alpha  \right)\) thì hình chiếu d’ của d trên \(\left( \alpha  \right)\) là giao tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\).

Vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{(\beta )}}} \) của \(\left( \beta  \right)\) vuông góc với cả \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow n \) nên ta chọn \(\overrightarrow {{n_\beta }}  = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right] = \left( { - 2;8; - 4} \right)\).

Ngoài ra, \(\left( \beta  \right)\) đi qua d nên cũng đi qua điểm \(A\left( {2; - 1;1} \right)\).

Do đó \(\left( \beta  \right)\) có phương trình:
\( - 2\left( {x - 2} \right) + 8\left( {y + 1} \right) - 4\left( {z - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow  - x + 4y - 2z + 8 = 0\).
Hình chiếu d’ qua I và có vectơ chỉ phương:

\(\overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ;\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] \) \(= \left( {\left| \matrix{
1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr 
4\,\,\,\,\,\, - 2 \hfill \cr} \right|;\,\left| \matrix{
1\,\,\,\,\,\,\,\,2 \hfill \cr 
- 2\,\,\,\,\, - 1\, \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
2\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr 
- 1\,\,\,\,\,4 \hfill \cr} \right|} \right) \) \(= \left( { - 6;3;9} \right) = 3\left( { - 2;1;3} \right)\)

Vậy d’ có phương trình tham số là 

\(\left\{ \matrix{
x = {8 \over 3} - 2t \hfill \cr 
y = t \hfill \cr 
z = {8 \over 3} + 3t \hfill \cr} \right.\)