Bài 4 trang 44 SGK Giải tích 12

\({x^3}-3{x^2} + 5 = 0\);

Phương pháp giải:

+) Khảo sát sự biến thiên của các hàm số \(y=f\left( x \right)\)  lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị hàm số.

+) Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right)=a\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\)   với đường thẳng \(y=a.\)

+) Khi đó dựa vào đồ thị hàm số để xác định số giao điểm và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số: \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5\)

+) Tập xác định: \(D=R.\)

+) Sự biến thiên:

Ta có: \(y'=3{{x}^{2}}-6x\Rightarrow y'=0\) \(\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x=0\) 

$\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=2\end{array}\right.$

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(- \infty ;0 \right)\) và \(\left( 2;+\infty  \right)\); hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( 0;\ 2 \right).\)

Hàm số đạt cực đại tại \(x=0;\ \ {{y}_{CD}}=5.\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=2;\ \ {{y}_{CT}}=1.\)

+) Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty \)

Bảng biến thiên:

+) Đồ thị hàm số:

Đồ thị hàm số cắt trục \(Oy\) tại điểm \(\left( 0;\ 5 \right).\)

Số nghiệm của phương trình \({{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5=0\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5\) và trục hoành.

Từ đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại 1 điểm duy nhất.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

\(- 2{x^3} + 3{x^2}-2 = 0\) ;      

Phương pháp giải:

Xét phương trình tương đương, sau đó:

+) Khảo sát sự biến thiên của các hàm số \(y=f\left( x \right)\)  lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị hàm số.

+) Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right)=a\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\)   với đường thẳng \(y=a.\)

+) Khi đó dựa vào đồ thị hàm số để xác định số giao điểm và kết luận.

Lời giải chi tiết:

\(-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2=0.(*)\) 

Ta có:  (*) \(\Leftrightarrow 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}=-2.\)

Xét hàm số: \(y=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}.\)

Tập xác định: \(D=R.\)

Ta có: \(y'=6{{x}^{2}}-6x\) \(\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 6{{x}^{2}}-6x=0\) 

$\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=1\end{array}\right.$

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( -\infty ;\ 0 \right)\) và \(\left( 1;+\infty  \right);\) nghịch biến trên khoảng \(\left( 0;\ 1 \right).\)

Hàm số đạt cực đại tại \(x=0;\ \ {{y}_{CD}}=0.\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=1;\ {{y}_{CT}}=-1.\)

Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty \)

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Số nghiệm của phương trình \(-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2=0\)  là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}\) và đường thẳng \(y=-2.\)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \(y=-2\) cắt đồ thị hàm số \(y=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}\) tại 1 điểm duy nhất.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Cách khác:

Xét hàm số \(y = {\rm{ }}f\left( x \right) =  - 2{x^3}\; + {\rm{ }}3{x^2}-2.\)

- TXĐ: \(D = \mathbb R\)

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{y' = - 6{x^2}\; + {\rm{ }}6x = - 6x\left( {x - 1} \right)}\\
{y' = 0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}x = 0{\rm{ }};{\rm{ }}x = 1}
\end{array}\)

+ Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) =  - \infty \)

+ Bảng biến thiên:

- Đồ thị:

Đồ thị hàm số \(y = f(x)\) cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất

⇒ phương trình \(f(x) = 0)\) có nghiệm duy nhất.

Vậy phương trình \( - 2{x^3}\; + 3{x^2}\; -2 = 0\) chỉ có một nghiệm.
 

\(2{x^2}-{x^4} =  - 1\).

Phương pháp giải:

+) Khảo sát sự biến thiên của các hàm số \(y=f\left( x \right)\)  lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị hàm số.

+) Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right)=a\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\)   với đường thẳng \(y=a.\)

+) Khi đó dựa vào đồ thị hàm số để xác định số giao điểm và kết luận.

Lời giải chi tiết:

\(2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}=-1.\)

Xét hàm số: \(y=2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}.\)

Tập xác định: \(D=R.\)

Sự biến thiên: \(y'=4x-4{{x}^{3}}\Rightarrow y'=0\) $\iff 4x-4x^3=0$

$\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=\pm 1\end{array}\right.$

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( -\infty ;\ -1 \right)\) và \(\left( 0;\ 1 \right);\) hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( -1;\ 0 \right)\) và \(\left( 1;+\infty  \right).\)

Hàm số đạt cực đại tại hai điểm \(x=-1\) và \(x=1;\ \ {{y}_{CD}}=1.\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0;\ {{y}_{CT}}=0.\)

Giới hạn:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  - \infty \)

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Số nghiệm của phương trình \(2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}=-1\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}\) và đường thẳng \(y=-1.\)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \(y=-1\) cắt đồ thị hàm số \(y=2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}\)  tại hai điểm phân biệt.

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.