Bài 4 trang 74 SGK Đại số và Giải tích 11

Phương trình có nghiệm

Phương pháp giải:

Phương trình bậc hai có nghiệm \(\left( {\Delta  \ge 0} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Không gian mẫu là \(Ω = \left\{{1, 2, 3, 4, 5, 6}\right\}\), \(n(Ω )=6\)

Ta có bảng:

Phương trình \(x^2 + bx + 2 = 0\) có nghiệm khi và chỉ khi \(∆ = b^2 - 8 ≥ 0\) (*).

Vì vậy nếu \(A\) là biến cố: "Xuất hiện mặt \(b\) chấm sao cho phương trình \(x^2 + bx + 2 = 0\) có nghiệm"

thì \(A =\left\{{3, 4, 5, 6}\right\}, n(A) = 4\) và \(P(A)\) = \(\frac{4}{6}\) = \(\frac{2}{3}\).

Cách khác:

Phương trình (1) có nghiệm

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{ \Leftrightarrow {\rm{ }}\Delta \ge 0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}b{\rm{ }} \ge {\rm{ }}2\surd 2}\\
{ \Rightarrow {\rm{ }}b \in \left\{ {3;{\rm{ }}4;{\rm{ }}5;{\rm{ }}6} \right\}.}\\
{ \Rightarrow {\rm{ }}A = \left\{ {3,{\rm{ }}4,{\rm{ }}5,{\rm{ }}6} \right\}}\\
{ \Rightarrow {\rm{ }}n\left( A \right) = {\rm{ }}4}
\end{array}\)

\(P(A)\) = \(\frac{4}{6}\) = \(\frac{2}{3}\).

Phương trình vô nghiệm.

Phương pháp giải:

Phương trình bậc hai vô nghiệm \(\left( {\Delta  < 0} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Biến cố \(B\): "Xuất hiện mặt \(b\) chấm sao cho phương trình \(x^2 + bx + 2 = 0\) vô nghiệm"

Dễ thấy A và B là các biến cố đối

Theo qui tắc cộng xác suất ta có \(P(B) = 1 - P(A)\) = \(\frac{1}{3}\).

Cách khác:

(1) vô nghiệm

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{ \Leftrightarrow {\rm{ }}\Delta {\rm{ }} < {\rm{ }}0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}b{\rm{ }} \le {\rm{ }}2\surd 2}\\
{ \Rightarrow {\rm{ }}b{\rm{ }} \in {\rm{ }}\left\{ {1;{\rm{ }}2} \right\}}\\
{ \Rightarrow {\rm{ }}B{\rm{ }} = {\rm{ }}\left\{ {1,{\rm{ }}2} \right\}}\\
{ \Rightarrow {\rm{ }}n\left( B \right){\rm{ }} = {\rm{ }}2}
\end{array}\)

\(P(B)\) \(=\frac{2}{6}\) = \(\frac{1}{3}\)

Phương trình có nghiệm nguyên.

Phương pháp giải:

Điều kiện cần để phương trình bậc hai có nghiệm nguyên là \(\Delta \) là số chính phương.

Lời giải chi tiết:

\(C\) là biến cố: "Xuất hiện mặt \(b\) chấm sao cho phương trình \(x^2 + bx + 2 = 0\) có nghiệm nguyên" 

Phương trình (1) có nghiệm

\(\Leftrightarrow {\rm{ }}b{\rm{ }} \in {\rm{ }}\left\{ {3;{\rm{ }}4;{\rm{ }}5;{\rm{ }}6} \right\}.\)

Thử các giá trị của b ta thấy:

Khi \(b=3\) thì phương trình trở thành \({x^2} + 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 2\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\)

Do đó \(C = \left\{{3}\right\} \Rightarrow n\left( C \right) = 1\).

Vậy \(P\left( C \right) = \frac{{n\left( C \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{1}{6}.\)