Bài 5 trang 44 SGK Giải tích 12

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số

$y = -x^3+ 3x + 1$.

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số  $y = -x^3+ 3x + 1$.

Tập xác định : $\mathbb R$.

* Sự biến thiên:

Ta có: $y' = -3x^2+ 3 = -3(x^2-1)$;

$\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.$.

- Hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;1)$, nghịch biến trên khoảng $(-\infty;-1)$ và $(1;+\infty)$.

- Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại $x=1$; $y_{CĐ}=3$

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$; $y_{CT}=-1$

- Giới hạn:

$\eqalign{
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = + \infty \cr 
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } = - \infty \cr} $

Bảng biến thiên:

* Đồ thị:

Đồ thị giao $Oy$ tại điểm $I(0;1)$ và nhận $I$ làm tâm đối xứng.

b) Dựa vào đồ thị $(C)$, biện luận về số nghiệm của phương trình sau theo tham số $m$.

$x^3- 3x + m = 0$.

Phương pháp giải:

- Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc 3.

- Dựa vào đồ thị hàm số câu a để biện luận số nghiệm của phương trình.

+) Số nghiệm của phương trình $f\left( x \right)=a$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$   với đường thẳng $y=a.$

+) Khi đó dựa vào đồ thị hàm số để xác định số giao điểm và kết luận.

Lời giải chi tiết:

$x^3- 3x + m = 0$ $⇔ -x^3+ 3x + 1 = m + 1$ (1). Số nghiệm của (1) chính là  số giao điểm của đồ thị hàm số (C) với đường thẳng (d) : $y = m + 1$.

Từ đồ thị ta thấy :

+)  $m + 1 < -1 ⇔ m < -2 $: (d) cắt (C) tại 1 điểm, (1) có 1 nghiệm.

+)  $m + 1 = -1 ⇔ m = -2$ : (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm, (1) có 2 nghiệm.

+)  $-1 < m + 1 < 3 ⇔ -2 < m < 2$ : (d) cắt (C) tại 3 điểm, (1) có 3 nghiệm.

+)  $ m + 1 = 3 ⇔ m = 2$ : (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm, (1) có 2 nghiệm.

+)   $m + 1 > 3 ⇔ m > 2$ : (d) cắt (C) tại 1 điểm, (1) có 1 nghiệm.

Kết luận:

+ Với m < -2 hoặc m > 2 thì phương trình có 1 nghiệm.

+ Với m = -2 hoặc m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm.

+ Với -2 < m < 2 thì phương trình có 3 nghiệm.