GIẢI TÍCH - TOÁN 12 NÂNG CAO

Bài 75 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

Lựa chọn câu hỏi để xem giải nhanh hơn
LG a
LG b

Cho hàm số: \(y = {x^4} - \left( {m + 1} \right){x^2} + m\)

Lựa chọn câu hỏi để xem giải nhanh hơn
LG a
LG b

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 2.

Lời giải chi tiết:

Với \(m=2\) hàm số đã cho có dạng: \(y={x^4} - 3{x^2} + 2\)

Tập xác định: \(D=\mathbb R\)

\(\eqalign{
& y' = 4{x^3} - 6x \cr 
& y' = 0 \Leftrightarrow x\left( {4{x^2} - 6} \right) = 0\cr& \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = \frac{6}{4}\end{array} \right.\cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{x = 0 \hfill \cr x = {{\sqrt 6 } \over 2} \hfill \cr x = - {{\sqrt 6 } \over 2} \hfill \cr} \right. \cr} \)

Hàm số đồng biến trên khoảng: \(\left( { - {{\sqrt 6 } \over 2};0} \right)\) và \(\left( {{{\sqrt 6 } \over 2}; + \infty } \right)\)

Hàm số nghịch biến trên khoảng: \(\left( { - \infty ; - {{\sqrt 6 } \over 2}} \right)\) và \(\left( {0;{{\sqrt 6 } \over 2}} \right)\)

Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại \(x=0;\,\,y(0)=2\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = {{\sqrt 6 } \over 2}\) và \(x =  - {{\sqrt 6 } \over 2}\), \(y\left( { \pm {{\sqrt 6 } \over 2}} \right) =  - {1 \over 4}\)

Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y =  + \infty \)

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị cắt trục tung tại điểm \((0;2)\)

Đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm: \(\left( { - \sqrt 2 ;0} \right),\left( { - 1;0} \right),\) \(\left( {1;0} \right),\left( {\sqrt 2 ;0} \right)\)

Đồ thị hàm số là hàm chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng.

LG b

Tìm các giá trị của m sao cho đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Hoành độ giao điểm của đường cong (C) và trục là nghiệm phương trình 

\({x^4} - \left( {m + 1} \right){x^2} + m = 0\,\,\,\left( 1 \right)\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x^2} = 1 \hfill \cr 
{x^2} = m \hfill \cr} \right.\)

(1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m>0 và \(m \ne 1\)

Khi đó (1) có 4 nghiệm: \(x =  - 1;\,x = 1;\,x =  - \sqrt m ;\,x = \sqrt m \)

* \( - \sqrt m  <  - 1 < 1 < \sqrt m \)

(C) cắt trục tại 4 điểm tạo thành ba đoạn thẳng bằng nhau khi \(\sqrt m  - 1 = 1 - \left( { - 1} \right) = 2 \Leftrightarrow m = 9\)

* \( - 1 <  - \sqrt m  < \sqrt m  < 1\)

(C) cắt trục hoành tại 4 điểm tạo thành ba đoạn thẳng bằng nhau khi \(1 - \sqrt m  = \sqrt m  - \left( { - \sqrt m } \right) = 2\sqrt m \)

Vậy m= 9 hoặc \(m = {1 \over 9}\).

Cách khác:

Đặt t=x2, điều kiện t≥0.

Hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là nghiệm của phương trình:

x4-(m+1) x2+m=0 (1)

<=> t2-(m+1)t+m=0 (2)

Đồ thị của hàm số cắt trục tung tại bốn điểm tạo thành 3 đoạn thẳng có độ dai bằng nhau, tức 4 điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng.

<=> Phương trình (2) có 2 nghiệm dương t1,t2 (với t1 < t2) thõa mãn điều kiện:

\(\begin{array}{l}\sqrt {{t_2}}  - \sqrt {{t_1}}  = \sqrt {{t_1}}  - \left( { - \sqrt {{t_1}} } \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt {{t_2}}  = 3\sqrt {{t_1}} \\ \Leftrightarrow {t_2} = 9{t_1}\end{array}\)

Điều kiện để (2) có 2 nghiệm dương phân biệt là:

Kết hợp với điều kiện (*), vậy với m = 9 hoặc m = 1/9 thì đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm, tạo thành 3 đoạn thẳng bằng nhau.

Fqa.vn
Bình chọn:
0/5 (0 đánh giá)
Báo cáo nội dung câu hỏi
Bình luận (0)
Bạn cần đăng nhập để bình luận
Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn
Location Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.
Tải ứng dụng FQA
Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024
Copyright © 2023 fqa.vn All Rights Reserved