Bài 9 trang 111 SGK Hình học 12 Nâng cao

Tìm tọa độ tâm mặt cầu và bán kính mặt cầu.

Lời giải chi tiết:

Ta có \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z = 0.\)

Có a=1,b=2,c=3, d=0 nên \(R = \sqrt {1 + 4 + 9 - 0}  = \sqrt {14} \)

Mặt cầu có tâm I(1; 2; 3) và có bán kính \(R = \sqrt {14} .\)

Cách khác:

Phương trình: x²+y²+z²-2x-4y-6z=0

⇔ (x-1)²+(y-2)²+(z-3)²=14

Vậy mặt cầu (S) có tâm là I = (1; 2; 3), bán kính R = √14

Tùy theo giá trị k, xét vị trí tương đối của mặt cầu (S) và mp(P): \(x + y - z + k = 0\).

Lời giải chi tiết:

Khoảng cách từ điểm I đến mp(P) là: \(d(I,(P)) = {{\left| {1 + 2 - 3 + k} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = {{\left| k \right|} \over {\sqrt 3 }}.\)
i) \({{\left| k \right|} \over {\sqrt 3 }} < \sqrt {14}  \Leftrightarrow \left| k \right| < \sqrt {42} :\,\,\left( P \right)\) cắt (S) theo một giao tuyến là một đường tròn.
ii) \({{\left| k \right|} \over {\sqrt 3 }} = \sqrt {14}  \Leftrightarrow \left| k \right| = \sqrt {42} :\,\,\left( P \right)\) tiếp xúc với (S).
iii) \({{\left| k \right|} \over {\sqrt 3 }} > \sqrt {14}  \Leftrightarrow \left| k \right| > \sqrt {42} :\,\,\left( P \right)\) không cắt (S).

Mặt cầu cắt ba trục Ox, Oy, Oz tại ba điểm A, B, C khác gốc tọa độ O. Viết phương trình mp(ABC).

Lời giải chi tiết:

(S) cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C (khác O) thì A(2; 0; 0) ; B(0; 4; 0) ; C(0; 0; 6).

Phương trình mặt phẳng (ABC): \({x \over 2} + {y \over 4} + {z \over 6} = 1.\)

Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm B.

Lời giải chi tiết:

\(Mp\left( \alpha  \right)\) tiếp xúc với (S) tại B thì \(\left( \alpha  \right)\) qua B và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {IB}  = \left( { - 1;2; - 3} \right)\).
Vậy \(\left( \alpha  \right): - \left( {x - 0} \right) + 2\left( {y - 4} \right) - 3\left( {z - 0} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow x - 2y + 3z + 8 = 0.\)

Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mặt phẳng (Q) có phương trình \(4x + 3y - 12z - 1 = 0.\)

Lời giải chi tiết:

Mp(Q’) // mp(Q) nên (Q’) có phương trình: \(4x + 3y - 12z + D = 0\,\,\left( {D \ne  - 1} \right).\)
(Q’) tiếp xúc với (S)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow d\left( {I;\left( {Q'} \right)} \right) = R \cr &\Leftrightarrow {{\left| {4.1 + 3.2 - 12.3 + D} \right|} \over {\sqrt {{4^2} + {3^2} + {{12}^2}} }} = \sqrt {14} . \cr 
& \Leftrightarrow {{\left| {D - 26} \right|} \over {13}} = \sqrt {14} \cr &\Leftrightarrow D = 26 \pm 13\sqrt {14} . \cr} \)

Vậy có hai mặt phẳng cần tìm là: \(4x + 3y - 12z + 26 \pm 13\sqrt {14}  = 0.\)