Bài tập 26 trang 155 Tài liệu dạy – học Toán 7 tập 1

Đề bài

Cho góc xOy. Lấy các điểm A, B thuộc tia Ox sao cho OA < OB. Lấy C, D thuộc tia Oy sao cho OC = OA, OD = OB. Gọi E là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng:

a) AD = BC

b) \(\Delta EAB = \Delta ECD\)

c) OE là tia phân giác góc xOy.

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác OCB và OAD có:\(\eqalign{  & OC{\rm{ }} = {\rm{ }}OA{\rm{ }}\left( {gt} \right)  \cr  & \widehat {COB} = \widehat {AOD}(gocchung)  \cr  & OB = OD(gt) \cr} \)

Do đó: \(\Delta OCB = \Delta OAD(c.g.c) \Rightarrow BC = AC\)

b) Ta có:

\(\eqalign{  & *\Delta OCB = \Delta OAD  \cr  &  \Rightarrow \widehat {ODA} = \widehat {OBC};\widehat {OCB} = \widehat {OAD} \cr} \)

*OC + CD = OD và OA + AB = OB

Mà OC = OA và OD = OB nên CD = AB.

*\(\widehat {OCE} + \widehat {ECD} = {180^0}\)  (kề bù) và \(\widehat {OAE} + \widehat {EAB} = {180^0}\)  (kề bù).

Mà \(\widehat {OCE} = \widehat {OAE}(cmt)\)  nên \(\widehat {ECD} = \widehat {EAB}\)

Xét tam giác EAB và ECD có: \(\eqalign{  & \widehat {EAB} = \widehat {ECD}(cmt)  \cr  & AB = CD(cmt)  \cr  & \widehat {EBA} = \widehat {EDC}(\widehat {ODA} = \widehat {OBC}) \cr} \)

Do đó: \(\Delta EAB = \Delta ECD(g.c.g).\)

c) Ta có: \(\Delta EAB = \Delta ECD \Rightarrow EB = ED;\widehat {EBA} = \widehat {EDC}\)

Xét tam giác OEB và OED có: \(\eqalign{  & OB = OD(gt)  \cr  & \widehat {OBE} = \widehat {ODE}(cmt)  \cr  & EB = ED(cmt) \cr} \)

Do đó: \(\Delta OEB = \Delta OED(c.g.c) \Rightarrow \widehat {EOB} = \widehat {EOD}\)

Vậy OE là tia phân giác của góc xOy.