Cho hình vuông ABCD với cạnh có độ dài bằng 1 và cung BD là một phần tư đường tròn tâm A, bán kính AB chứa trong hình vuông (h.1.4). Tiếp tuyến tại M của cung BD cắt đoạn thẳng CD tại điểm P và cắt đoạn thẳng BC tại điểm Q. Đặt x = DP và y = BQ

Lựa chọn câu hỏi để xem giải nhanh hơn

LG a

LG b

LG a

Chứng minh rằng

\(P{Q^2} = {x^2} + {y^2} - 2x - 2y + 2\) và \(PQ = x + y\)

Từ đó tính y theo x

Lời giải chi tiết:

Tam giác PCQ vuông tại C có \(PC = 1 - x,QC = 1 - y\) và vuông tại C nên theo Pitago ta có:

\(\begin{array}{l}P{Q^2} = P{C^2} + C{Q^2}\\ = {\left( {1 - x} \right)^2} + {\left( {1 - y} \right)^2}\\ = 1 - 2x + {x^2} + 1 - 2y + {y^2}\\ = {x^2} + {y^2} - 2x - 2y + 2\end{array}\)

Lại có,

BC, QP là tiếp tuyến với đường tròn \(\left( {A;AB} \right)\) cắt nhau tại Q nên \(QM = QB = y\)

DC, QP là tiếp tuyến với đường tròn \(\left( {A;AB} \right)\) cắt nhau tại P nên \(PM = PD = y\)

Vậy \(PQ = PM + MQ = x + y\).

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow P{Q^2} = {\left( {x + y} \right)^2} = {x^2} + 2xy + {y^2}\\
\Rightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 2y + 2 = {x^2} + 2xy + {y^2}\\
\Leftrightarrow 2xy + 2x + 2y - 2 = 0\\
\Leftrightarrow xy + x + y - 1 = 0\\
\Leftrightarrow y\left( {x + 1} \right) = 1 - x\\
\Leftrightarrow y = \frac{{1 - x}}{{x + 1}}
\end{array}\)

Vậy \(y = {{1 - x} \over {x + 1}},0 < x < 1\)

LG b

Tính PQ theo x và tìm x để PQ có độ dài nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
PQ = x + y = x + \frac{{1 - x}}{{x + 1}}\\
= \frac{{{x^2} + x + 1 - x}}{{x + 1}} = \frac{{{x^2} + 1}}{{x + 1}}
\end{array}\)

Do đó, \(PQ = {{{x^2} + 1} \over {x + 1}},0 < x < 1\).

Xét hàm

\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 1}}{{x + 1}}\\
f'\left( x \right) = \frac{{2x\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\
= \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\
f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \sqrt 2 + 1 \notin \left( {0;1} \right)\\
x = \sqrt 2 - 1 \in \left( {0;1} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Do đó, đoạn thẳng PQ có độ dài nhỏ nhất khi \(x = \sqrt 2 - 1\)

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Chương bài liên quan

Bài 4. Đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ

Bài 5. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm đa thức

Bài 7. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm phân thức hữu tỉ

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024