Bài 1.42 trang 15 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

$\tan \left( {x + {\pi  \over 3}} \right) + \cot \left( {{\pi  \over 6} - 3x} \right) = 0$

Lời giải chi tiết:

Biến đổi phương trình đã cho như sau:

$\tan \left( {x + {\pi  \over 3}} \right) + \cot \left( {{\pi  \over 6} - 3x} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \tan \left( {x + {\pi  \over 3}} \right) + \tan \left( {3x + {\pi  \over 3}} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow {{\sin \left( {4x + {{2\pi } \over 3}} \right)} \over {\cos \left( {x + {\pi  \over 3}} \right)\cos \left( {3x + {\pi  \over 3}} \right)}} = 0$

Vậy với điều kiện $\cos \left( {x + {\pi  \over 3}} \right) \ne 0$ và $\cos \left( {3x + {\pi  \over 3}} \right) \ne 0$, phương trình đã cho tương đương với phương trình $\sin \left( {4x + {{2\pi } \over 3}} \right) = 0\Leftrightarrow x =  - {\pi  \over 6} + {{k\pi } \over 4}$ Có thể thử lại điều kiện bằng cách trực tiếp.

Chẳng hạn, ta có

$\cos \left( {x + {\pi  \over 3}} \right) = \cos \left( { - {\pi  \over 6} + k{\pi  \over 4} + {\pi  \over 3}} \right) $

$= \cos \left( {{\pi  \over 6} + k{\pi  \over 4}} \right) \ne 0$

$\tan \left( {2x - {{3\pi } \over 4}} \right) + \cot \left( {4x - {{7\pi } \over 8}} \right) = 0$

Lời giải chi tiết:

Áp dụng công thức $\tan a + \cot b = {{\cos \left( {a - b} \right)} \over {\cos a.\sin b}},$ ta biến đổi phương trình đã cho như sau:

$\tan \left( {2x - {{3\pi } \over 4}} \right) + \cot \left( {4x - {{7\pi } \over 8}} \right) = 0$

$\Leftrightarrow {{\cos \left( {x + {{13\pi } \over 8}} \right)} \over {\cos \left( {2x - {{3\pi } \over 4}} \right)\sin \left( {4x + {{7\pi } \over 8}} \right)}} = 0$

Do đó với điều kiện $\cos \left( {2x - {{3\pi } \over 4}} \right) \ne 0$ và $\sin \left( {4x + {{7\pi } \over 8}} \right) \ne 0,$ phương trình đã cho tương đương với phương trình $\cos \left( {2x + {{13\pi } \over 8}} \right) = 0\Leftrightarrow x =  - {{9\pi } \over {16}} + k{\pi  \over 2} $

Thử lại điều kiện bằng cách trực tiếp.

 $\tan \left( {2x + {\pi  \over 3}} \right).\tan \left( {x - {\pi  \over 2}} \right) = 1$    

Lời giải chi tiết:

Biến đổi phương trình đã cho như sau:

$\eqalign{
& \tan \left( {2x + {\pi \over 3}} \right).\tan \left( {\pi - {x\over 2}} \right) = 1\cr& \Leftrightarrow \tan \left( {2x + {\pi \over 3}} \right) = \cot \left( { - {x \over 2}} \right) \cr 
& \Leftrightarrow \tan \left( {2x + {\pi \over 3}} \right) + \cot {x \over 2} = 0\cr& \Leftrightarrow {{\cos \left( {{{3x} \over 2} + {\pi \over 3}} \right)} \over {\cos \left( {2x + {\pi \over 3}} \right)\sin {x \over 2}}} = 0 \cr} $

Do đó, với điều kiện $\cos \left( {2x + {\pi  \over 3}} \right) \ne 0$ và $\sin {x \over 2} \ne 0$, phương trình đã cho tương đương với phương trình $\cos \left( {{{3x} \over 2} + {\pi  \over 3}} \right) = 0\Leftrightarrow x = {\pi  \over 9} + k{{2\pi } \over 3}$

Thử lại điều kiện bằng cách trực tiếp.

 $\sin 2x + 2\cot x = 3$

Lời giải chi tiết:

Sử dụng công thức $\sin 2x = {{2\tan x} \over {1 + {{\tan }^2}x}},$ ta có:

$\sin 2x + 2\cot x = 3 $

$\Leftrightarrow {{2\tan x} \over {1 + {{\tan }^2}x}} + {2 \over {\tan x}} = 3$

Giải tiếp phương trình này với điều kiện $\tan x \ne 0$ ta được: $x = {\pi  \over 4} + k\pi $