Mùa xuân ở Hội Lim (tỉnh Bắc Ninh) thường có trò chơi đu. Khi người chơi đu nhún đều, cây đu sẽ đưa người chơi đu dao động qua lại vị trí cân bằng. Nghiên cứu trò chơi này, người ta thấy khoảng cách h (tính bằng mét) từ người chơi đu đến vị trí cân bằng (h. 1.32) được biểu diễn qua thời gian t (t ≥ 0 và được tính bằng giây) bởi hệ thức \(h = |d|\) với \(d = 3\cos \left[ {{\pi \over 3}\left( {2t - 1} \right)} \right]\) , trong đó ta quy ước rằng \(d > 0\) khi vị trí cân bằng ở về phía sau lưng người chơi đu và \(d < 0\) trong trường hợp trái lại.
LG a
LG a
Tìm các thời điểm trong vòng 2 giây đầu tiên mà người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất.
Lời giải chi tiết:
Người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất khi \(\cos \left[ {{\pi \over 3}\left( {2t - 1} \right)} \right] = \pm 1\)
Ta có:
\(\eqalign{
& \cos \left[ {{\pi \over 3}\left( {2t - 1} \right)} \right] = \pm 1\cr& \Leftrightarrow \sin \left[ {{\pi \over 3}\left( {2t - 1} \right)} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\pi \over 3}\left( {2t - 1} \right) = k\pi\cr& \Leftrightarrow t = {1 \over 2}\left( {3k + 1} \right) \cr} \)
Ta cần tìm k nguyên để \(0 ≤ t ≤ 2\)
\(0 \le t \le 2 \Leftrightarrow 0 \le {1 \over 2}\left( {3k + 1} \right) \le 2 \)
\(\Leftrightarrow - {1 \over 3} \le k \le 1 \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\}\)
Với \(k = 0\) thì \(t = {1 \over 2}.\)
Với \(k = 1\) thì \(t = 2\).
Vậy trong 2 giây đầu tiên, người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất vào các thời điểm \({1 \over 2}\) giây và 2 giây.
LG b
LG b
Tìm các thời điểm trong vòng 2 giây đầu tiên mà người chơi đu cách vị trí cân bằng 2 mét (tính chính xác đến
\({1 \over {100}}\) giây).
Lời giải chi tiết:
Người chơi đu cách vị trí cân bằng 2 mét khi \(3\cos \left[ {{\pi \over 3}\left( {2t - 1} \right)} \right] = \pm 2\)
Ta có:
\(\eqalign{
& 3\cos \left[ {{\pi \over 3}\left( {2t - 1} \right)} \right] = \pm 2 \cr
& \Leftrightarrow {\cos ^2}\left[ {{\pi \over 3}\left( {2t - 1} \right)} \right] = {4 \over 9} \cr
& \Leftrightarrow \frac{{1 + \cos \left[ {\frac{{2\pi }}{3}\left( {2t - 1} \right)} \right]}}{2} = \frac{4}{9}\cr& \Leftrightarrow 1 + \cos \left[ {{{2\pi } \over 3}\left( {2t - 1} \right)} \right] = {8 \over 9} \cr
& \Leftrightarrow \cos \left[ {{{2\pi } \over 3}\left( {2t - 1} \right)} \right] = - {1 \over 9} \cr
& \Leftrightarrow {{2\pi } \over 3}\left( {2t - 1} \right) = \pm \alpha + k2\pi \cr
& \Leftrightarrow t = \pm {{3\alpha } \over {4\pi }} + {1 \over 2} + {{3k} \over 2}\cr&\left( {\text{với}\,\cos \alpha = - {1 \over 9}} \right) \cr} \)
Ta tìm k nguyên để \(0 ≤ t ≤ 2\)
- Với \(t = {{3\alpha } \over {4\pi }} + {1 \over 2} + {{3k} \over 2},\) ta có :
\(0 \le t \le 2 \Leftrightarrow - {1 \over 3} - {\alpha \over {2\pi }} \le k \le 1 - {\alpha \over {2\pi }}\)
Với \(\cos \alpha = - {1 \over 9}\) ta chọn \(α ≈ 1,682\)
Khi đó \(– 0,601 < k < 0,732\) suy ra \(k = 0\) và \(t ≈ 0,90\)
- Với \(t = - {{3\alpha } \over {4\pi }} + {1 \over 2} + {{3k} \over 2},\) ta có :
\(0 \le t \le 2 \Leftrightarrow - {1 \over 3} + {\alpha \over {2\pi }} \le k \le 1 + {\alpha \over {2\pi }}\)
Vì \(α ≈ 1,682\) nên \(– 0,066 < k < 1,267\), suy ra \(k \in {\rm{\{ }}0;1\} \)
Với \(k = 0\), ta có \(t ≈ 0,10\); với \(k = 1\), ta có \(t ≈ 1,60\)
Kết luận : Trong khoảng 2 giây đầu tiên, có ba thời điểm mà người chơi đu cách vị trí cân bằng 2 mét, đó là \(t ≈ 0,10\) giây; \(t ≈ 0,90\) giây và \(t ≈ 1,60\) giây.
Chuyên đề 3. Mở đầu về điện tử học
Test Yourself 4
Phần 2. Địa lí khu vực và quốc gia
Chuyên đề 3: Đọc, viết và giới thiệu về một tác phẩm văn học
Bài 11: Tiết 2: Kinh tế khu vực Đông Nam Á - Tập bản đồ Địa lí 11
SGK Toán Lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SBT Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11