Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABCD) và SA = a.
a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp S.ABCD là các tam giác vuông.
b) Từ A kẻ \(A{B_1} \bot SB,A{{\rm{D}}_1} \bot S{\rm{D}}\). Chứng tỏ rằng \(mp\left( {A{B_1}{D_1}} \right) \bot SC\).
Gọi C1 là giao điểm của SC với mp(AB1C1). Chứng tỏ rằng tứ giác AB1C1D1 có hai đường chéo vuông góc và tính diện tích của tứ giác đó.
Lời giải chi tiết
a) Dễ dàng thấy SAB, SAD là các tam giác vuông tại A.
Mặt khác \(SA \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right),A{\rm{D}} \bot DC\) nên \(S{\rm{D}} \bot DC\) (định lí ba đường vuông góc), do đó SDC là tam giác vuông tại D.
Tương tự , SBC là tam giác vuông tại B.
b) Dễ dàng chứng minh được
\(\eqalign{ & A{{\rm{D}}_1} \bot \left( {SC{\rm{D}}} \right) \cr & \Rightarrow A{{\rm{D}}_1} \bot SC \cr} \)
Cũng như vậy, ta có \(A{B_1} \bot SC\)
Vậy \(SC \bot \left( {A{B_1}{D_1}} \right)\).
Gọi \(O = AC \cap B{\rm{D}},{O_1} = {B_1}{D_1} \cap SO\) thì \({C_1} = A{O_1} \cap SC\).
Mặt khác \(\Delta SAB = \Delta SA{\rm{D}}\left( {c.g.c} \right)\) nên B1D1 // BD.
Ta lại có
\(\eqalign{ & B{\rm{D}} \bot \left( {SAC} \right) \cr & \Rightarrow {B_1}{D_1} \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow {B_1}{D_1} \bot A{C_1} \cr} \)
Từ đó \({S_{A{B_1}{C_1}{D_1}}} = {1 \over 2}A{C_1}.{B_1}{D_1}\)
Ta có
\(\eqalign{ & A{C_1} = {{SA.AC} \over {SC}} = {{a\sqrt 6 } \over 3} \cr & {{{B_1}{D_1}} \over {B{\rm{D}}}} = {{S{B_1}} \over {SB}} = {{S{B_1}.SB} \over {S{B^2}}} = {{S{A^2}} \over {S{B^2}}} = {{{a^2}} \over {2{{\rm{a}}^2}}} \cr & \Rightarrow {B_1}{D_1} = {{a\sqrt 2 } \over 2} \cr} \)
(Chú ý: Có thể thấy B1, D1 thứ tự là trung điểm của SB là SD nên B1D1 // BD và \({B_1}{D_1} = {1 \over 2}B{\rm{D}}\))
Vậy \({S_{A{B_1}{C_1}{D_1}}} = {1 \over 2}.{{a\sqrt 6 } \over 3}.{{a\sqrt 2 } \over 2} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 6}\).
Unit 5: Illiteracy - Nạn mù chữ
Chủ đề 4. Chiến tranh bảo vệ Tổ quốc và chiến tranh giành giải phóng dân tộc trong lịch sử Việt Nam (trước Cách mạng tháng Tám năm 1945)
Unit 9: The Post Office - Bưu điện
Bài 12: Tiết 1: Khái quát về Ô-xtrây-li-a - Tập bản đồ Địa lí 11
Chuyên đề 1: Phát triển kinh tế và sự biến đổi môi trường tự nhiên
SBT Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SGK Toán Lớp 11
Chatbot GPT