Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, SA = a. Tính:
a) Các góc giữa các mặt phẳng chứa các mặt bên và mặt phẳng đáy của hình chóp.
b) Góc giữa hai mặt phẳng chứa hai mặt bên liên tiếp hoặc hai mặt bên đối diện của hình chóp.
Lời giải chi tiết
a) Dễ thấy
\(\eqalign{ & \left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right) \cr & \left( {SA{\rm{D}}} \right) \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right) \cr} \)
nên góc giữa mặt bên (SAB) và (SAD) với mp(ABCD) bằng 90°.
Ta có \(\left( {S{\rm{D}}A} \right) \bot C{\rm{D}}\) và SDA là tam giác vuông tại A nên \(\widehat {S{\rm{D}}A}\) là góc giữa hai mặt phẳng (SDC) và (ABCD).
Từ đó: \(\tan \widehat {S{\rm{D}}A} = {1 \over 2}\)
Tương tự, \(\tan \widehat {SBA} = 1 \Leftrightarrow \widehat {SBA} = {45^0}\).
Vậy mp(SCD) tạo với mp(ABCD) góc bằng φ mà \(\tan \varphi = {1 \over 2}\) và mp(SBC) tạo với mp(ABCD) góc 45°.
b) Vì \(\left( {SA{\rm{D}}} \right) \bot \left( {SAB} \right)\) nên góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 90°.
Ta cũng có \(C{\rm{D}} \bot \left( {SA{\rm{D}}} \right)\) nên \(\left( {SC{\rm{D}}} \right) \bot SA{\rm{D}}\). Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SCD) bằng 90°. Tương tự, ta cũng có góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng 90°.
Ta cần phải tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SDC).
Trong mp(ABCD), kẻ A qua đường thẳng vuông góc với AC, nó cắt hai đường thẳng BC và DC lần lượt tại I và J, thì \({\rm{IJ}} \bot {\rm{SC}}\).
Trong mp(SAC) kẻ \(A{C_1} \bot SC\) thì \(\left( {IJ{C_1}} \right) \bot SC\) .
Do đó, \(\widehat {I{C_1}J}\) hoặc \({180^0} - \widehat {I{C_1}J}\) là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).
Ta có:
\(\eqalign{ & AJ = AC\tan \widehat {ACD} = 2a\sqrt 5 \cr & {1 \over {AC_1^2}} = {1 \over {A{S^2}}} + {1 \over {A{C^2}}} = {1 \over {{a^2}}} + {1 \over {5{a^2}}} = {6 \over {5{a^2}}} \cr & \Rightarrow A{C_1} = {{a\sqrt 5 } \over {\sqrt 6 }} \cr} \)
Đặt \(\widehat {A{C_1}J} = \alpha \) thì \(\tan \alpha = {{AJ} \over {A{C_1}}} = {{2a\sqrt 5 } \over {{{a\sqrt 5 } \over {\sqrt 6 }}}} = 2\sqrt 6 \)
Đặt \(\widehat {A{C_1}I} = \beta \) thì \(\tan \beta = {{AI} \over {A{C_1}}} = {{AC\tan \widehat {ACI}} \over {A{C_1}}} = {{a\sqrt 5 .{1 \over 2}} \over {{{a\sqrt 5 } \over {\sqrt 6 }}}} = {{\sqrt 6 } \over 2}\)
Đặt \(\widehat {I{C_1}J} = \varphi \) thì \(\tan \varphi = {{2\sqrt 6 + {{\sqrt 6 } \over 2}} \over {1 - 2\sqrt 6 .{{\sqrt 6 } \over 2}}} = - {{\sqrt 6 } \over 2}\)
Vậy góc giữa mp(SBC) và (SCD) là \({180^0} - \varphi \) mà \(\tan \varphi = {{ - \sqrt 6 } \over 2}\).
Chuyên đề 1. Dinh dưỡng khoáng - tăng năng suất cây trồng và nông nghiệp sạch
SGK Toán 11 - Cánh Diều tập 2
Unit 4: Global Warming
Tải 10 đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương VIII - Hóa học 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức cuối học kì 2 môn Vật lí lớp 11
SGK Toán Lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SBT Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11